《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例3(多选，2025河南南阳月考)三星系统是指由三颗恒星组成的恒星系统，这三颗恒星的距离相对于其他恒星很远，所受其他星体引力的影响忽略不计。如图，假设三星系统中星球$A$、$B$、$C$分别位于直角三角形的三个顶点，它们以直角三角形的重心$O$为圆心，在同一平面内做匀速圆周运动，且始终保持相对位置不变。已知$\angle ACB = 30^{\circ}$，$\angle CAB = 90^{\circ}$。下列说法正确的是(BD)

A. 星球 A的质量最大

B. 星球C的质量最大

C. 星球B受到的向心力最小

D. 星球C受到的向心力最大

答案：

星球$A$、$B$、$C$保持相对位置不变，则它们的角速度相同，设星球$A$、$B$之间的距离为$x$，则星球$A$、$C$之间的距离为$\sqrt{3}x$，星球$B$、$C$之间的距离为$2x$，以$A$星球为研究对象，$A$、$B$之间的万有引力$F_{AB}=G\frac{m_{A}m_{B}}{x^{2}}$，$A$、$C$之间的万有引力$F_{AC}=G\frac{m_{A}m_{C}}{3x^{2}}$，由于它们受到的合力均指向$O$点，根据相似三角形有$\frac{F_{AC}}{\sqrt{3}x}=\frac{F_{AB}}{x}$，解得$m_{C}=3\sqrt{3}m_{B}$，同理以$B$星球为研究对象，由于$B$受到的万有引力的合力指向$O$点，根据相似三角形有$\frac{G\frac{m_{A}m_{B}}{x^{2}}}{x}=\frac{G\frac{m_{C}m_{B}}{4x^{2}}}{2x}$，解得$m_{C}=8m_{A}$，由此可得$m_{B}=\frac{8\sqrt{3}}{9}m_{A}$，综上可知$C$星球的质量最大，$A$星球的质量最小，故A错误，B正确；星球做匀速圆周运动所需的向心力$F = m\omega^{2}r$，$A$星球的质量最小，半径最小，故受到的向心力最小，$C$星球的质量最大，半径最大，故受到的向心力最大，故C错误，D正确。

答案 BD