《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例2 （2024 北京海淀期中）如图甲所示，水平圆盘上质量 $m_A = 4m$ 与 $m_B = m$ 的 $A$、$B$ 两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心. $A$、$B$ 一起随圆盘绕竖直中心轴 $OO'$ 转动，转动角速度 $\omega$ 从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止. $A$、$B$ 两物块转动半径 $r_A = r$，$r_B = 2r$. 两物块与圆盘间的动摩擦因数均为 $\mu$，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $g$.


(1)若先将轻绳去掉，将 $A$、$B$ 两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出 $A$、$B$ 相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度. 若将 $A$、$B$ 两物块同时放到图所示位置(无轻绳)，逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
(2)在 $A$、$B$ 两物块间加上轻绳，如图甲所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长. 求当角速度 $\omega_1$ 为多大时，$A$ 受到的静摩擦力达到最大值.
(3)求当角速度继续增大至 $\omega_2 = \sqrt{\frac{2\mu g}{r}}$ 时，$B$ 受到的静摩擦力的大小.
(4)当角速度继续增大至 $\omega_3$ 时，$A$、$B$ 物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求 $\omega_3$ 的大小. 并将物块 $B$ 受到的摩擦力 $f_B$ 与 $\omega^2$ 的分段函数关系图像画在图乙中(取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值).

答案：
分析与解
(1)对物块 $A$，当最大静摩擦力恰好提供向心力时，有
$\mu · 4mg = 4m\omega_A^2r$，
解得 $\omega_A = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$，
即当 $\omega_A = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$ 时 $A$ 开始滑动.
对物块 $B$，当最大静摩擦力恰好提供向心力时，有
$\mu mg = m\omega_B^2 · 2r$，
解得 $\omega_B = \sqrt{\frac{\mu g}{2r}}$，
即当 $\omega_B = \sqrt{\frac{\mu g}{2r}}$ 时 $B$ 开始滑动.
因为 $\omega_B ＜ \omega_A$，所以当两物块同时随圆盘转动时物块 $B$ 最先滑动.
(2)当 $B$ 的角速度 $\omega$ 满足 $\frac{\mu g}{2r} ＜ \omega^2 ＜ \omega^2$ 时绳上有拉力，且在该角速度范围内 $B$ 受到的静摩擦力始终为最大静摩擦力，即 $f_B = \mu mg$.
当 $f_A = 4\mu mg$ 时，对 $A$，由牛顿第二定律，有
$T_1 + 4\mu mg = 4m\omega_1^2r$，
对 $B$，由牛顿第二定律，有
$T_1 + \mu mg = m\omega_1^2 · 2r$，
联立解得 $\omega_1 = \sqrt{\frac{3\mu g}{2r}}$.
(3)当 $A$、$B$ 所受的静摩擦力均达到最大值后，若 $\omega$ 再增大，因 $A$ 所需向心力大于 $B$ 所需向心力，但绳上的拉力 $T$ 相同，则 $B$ 的静摩擦力将减小.
对 $A$，由牛顿第二定律，有
$T_2 + 4\mu mg = 4m\omega_2^2r$，
对 $B$，由牛顿第二定律，有
$T_2 + f_B = m\omega_2^2 · 2r$，
解得 $f_B = 0$.
(4)当角速度大于 $\omega_2$ 时，$B$ 受到的静摩擦力反向，即背离圆心，设当反向后的静摩擦力达到最大值时圆盘的角速度为 $\omega_3$，对 $A$，由牛顿第二定律，有
$T_3 + 4\mu mg = 4m\omega_3^2r$，
对 $B$，由牛顿第二定律，有
$T_3 - \mu mg = m\omega_3^2 · 2r$，
联立解得 $\omega_3 = \sqrt{\frac{5\mu g}{2r}}$.
物块 $B$ 受到的摩擦力 $f_B$ 与 $\omega^2$ 的分段函数关系图像如图所示.
答案
(1)$\omega_A = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$；$\omega_B = \sqrt{\frac{\mu g}{2r}}$，$B$ 最先滑动
(2)$\omega_1 = \sqrt{\frac{3\mu g}{2r}}$
(3)$f_B = 0$
(4)$\omega_3 = \sqrt{\frac{5\mu g}{2r}}$；图见解析