《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

7. 如图所示,在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在xOy平面内,从原点O处沿与x轴正方向成θ角$(0＜θ＜π)$以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是


A.若v一定,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
B.若v一定,θ越大,则粒子离开磁场的位置距O点越远
C.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大
D.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短

答案：
7.A　[正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

有$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，$r = \frac{mv}{qB}$。当$\theta$为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，入射点与出射点间距离$Oa = 2r\sin\theta = \frac{2mv\sin\theta}{qB}$，粒子运动周期$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$，而粒子在磁场的运动时间$t = \frac{2\pi - 2\theta}{2\pi}T = \frac{2m(\pi - \theta)}{qB}$与速度无关。当$\theta$为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示。

由几何关系可知，入射点与出射点间距离$Oa = 2r\sin(\pi - \theta) = \frac{2mv\sin(\pi - \theta)}{qB}$，而粒子在磁场中运动时间$t = \frac{2(\pi - \theta)}{2\pi}T = \frac{2m(\pi - \theta)}{qB}$，与第一种情况相同。若$v$一定，$\theta$越大，从时间公式可以看出运动时间越短，故A正确；若$v$一定，当$\theta$为锐角时，$\theta$越大，$Oa$越大，当$\theta$为钝角时，$\theta$越大，$Oa$越小，当$\theta = 90^{\circ}$时，$Oa$有最大值，故B错误；粒子运动的角速度$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m}$，与速度无关，即$v$越大时，$\omega$不变，故C错误；无论$\theta$是锐角还是钝角，运动时间均为$\frac{2m(\pi - \theta)}{qB}$，与速度无关。即若$\theta$一定，无论$v$大小如何，粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。]

8. (12分)(2025·浙江强基联盟高二联考)如图所示,以O为圆心,半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,a、b为圆的一条直径,a处有一粒子源,能沿垂直于磁场的各个方向,向磁场发射质量为m、电荷量大小为q、速度不同的负电荷,已知某一从a点沿aOb方向射入磁场的负电荷P,恰好从c点离开磁场,Ob与Oc间夹角$α=60^{\circ}$,不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)(3分)求负电荷P射入磁场的初速度大小$v_{0}$;
(2)(4分)若另一负电荷Q沿与aOb成$30^{\circ}$角的方向斜向上射入磁场后仍从c点离开,求负电荷Q入射的速度大小和在磁场中运动的时间;
(3)(5分)要使所有负电荷只能从$∠aOc$所对的磁场边界射出,求射入磁场的负电荷的初速度大小满足的要求。

答案：
8.
(1)$\frac{\sqrt{3}RBq}{m}$
(2)$\frac{RBq}{m}$
(3)$\frac{2\pi m}{3Bq}$
(4)$v \leq \frac{\sqrt{3}RBq}{2m}$
解析　
(1)作出轨迹图，如图所示

根据几何关系可知负电荷$P$在磁场中做圆周运动的半径$r = \sqrt{3}R$，
根据$Bqv_{0} = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$，
解得$v_{0} = \frac{\sqrt{3}RBq}{m}$。
(2)负电荷$Q$在磁场中运动轨迹如图所示。
由几何关系可知$Q$在磁场中做圆周运动的半径$r' = R$，
根据$Bqv_{1} = m\frac{v_{1}^{2}}{r}$，解得$v_{1} = \frac{RBq}{m}$，
由几何关系可知$Q$在磁场中做圆周运动的圆心角$\theta = 120^{\circ}$，
$Q$在磁场中运动的时间$t = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} · \frac{2\pi r}{v_{1}} = \frac{2\pi m}{3Bq}$。
(3)要使所有负电荷只能从$\angle aOc$所对应的磁场边界射出，则弦$ac$为速度最大的负电荷的轨迹的直径，
对应的最大半径$r_{m} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
根据$Bqv_{m} = m\frac{v_{m}^{2}}{r_{m}}$，
解得$v_{m} = \frac{\sqrt{3}RBq}{2m}$，
所以射入磁场的负电荷的初速度大小应满足$v \leq \frac{\sqrt{3}RBq}{2m}$。