《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

3. 如图12,在Rt△ABC中,∠A= 90°,CD,BE是角平分线,它们相交于点F,EG//BC,CG⊥EG,垂足为G.
(1)求∠BFD的度数;
(2)求证:∠ADC= ∠GCD.

答案：
(1)
∵在Rt△ABC中,∠A=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°.
∵BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠FBC= $\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCF= $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠FBC+∠FCB= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)= $\frac{1}{2}$×90°=45°,
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=45°.
(2)
∵EG//BC,CG⊥EG,
∴CG⊥BC,
∴∠BCG=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠ADC+∠ACD=∠DCG+∠BCD=90°,
∴∠ADC=∠DCG.

4. 在△ABC中,AD是角平分线,∠B＜∠C,
(1)如图13-1,AE是高,∠B= 50°,∠C= 70°,求∠DAE的度数;
(2)如图13-2,点E在AD上,EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论;
(3)如图13-3,点E在AD的延长线上,EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系(直接写出结论,不需证明).

答案：
(1)如题图，
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC.
∵AE⊥BC,
∴∠CAE=90°−∠C,
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE= $\frac{1}{2}$∠BAC−(90°−∠C)= $\frac{1}{2}$(180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)= $\frac{1}{2}$∠C− $\frac{1}{2}$∠B= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B).
∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠DAE= $\frac{1}{2}$×(70°−50°)=10°.　
(2)结论:∠DEF= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B).理由:如图1,过A作AG⊥BC于G,
∵EF⊥BC,
∴AG//EF,
∴∠DAG=∠DEF.由
(1)可得，∠DAG= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B),
∴∠DEF= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B).　
(3)如图2,过A作AG⊥BC于G,
∵EF⊥BC,
∴AG//EF,
∴∠DAG=∠DEF.由
(1)可得,∠DAG= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B),
∴∠DEF= $\frac{1}{2}$(∠C−∠B).