《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

3. 一个长方形的长与宽分别为$a$,$b$.若该长方形的周长为$14$,面积为$5$,求$3a^4b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^4$的值.

答案：
∵长方形的长与宽分别为a,b,该长方形的周长为14,面积为5,
∴$ab=5,a+b=7$.
∵$3a^{4}b^{2}+6a^{3}b^{3}+3a^{2}b^{4}=3a^{2}b^{2}(a^{2}+2ab+b^{2})=3a^{2}b^{2}(a+b)^{2}=3[ab(a+b)]^{2}$,
∴将$ab=5,a+b=7$代入可知,原式=$3×(5×7)^{2}=3×35^{2}=3675$.

4. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,且$a^2 - 6a + b^2 - 6b + c^2 - 6c + 27 = 0$,试判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
∵$a^{2}-6a+b^{2}-6b+c^{2}-6c+27=0$,
∴$(a^{2}-6a+9)+(b^{2}-6b+9)+(c^{2}-6c+9)=0$,
∴$(a-3)^{2}+(b-3)^{2}+(c-3)^{2}=0$.
∵$(a-3)^{2}≥0,(b-3)^{2}≥0,(c-3)^{2}≥0$,
∴$(a-3)^{2}=(b-3)^{2}=(c-3)^{2}=0$,
∴$a-3=0,b-3=0,c-3=0$,
∴$a=b=c=3$,
∴△ABC为等边三角形.