《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

5. 阅读材料
材料1 将一个形如$x^2 + px + q$的二次三项式因式分解时,如果能满足$q = mn且p = m + n$,则可以把$x^2 + px + q因式分解成(x + m)(x + n)$.
例：①$x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$；②$x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)$.
材料2 因式分解：$(x + y)^2 + 2(x + y) + 1$.
解：将“$x + y$”看成一个整体,令$x + y = A$,则原式$= A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$,
再将“A”还原,得原式$= (x + y + 1)^2$.
上述解题用到“整体思想”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题：
(1)根据材料1,把$x^2 - 6x + 8$分解因式；
(2)结合材料1和材料2,完成下面小题：
①分解因式：$(x - y)^2 + 4(x - y) + 3$；
②分解因式：$(m^2 + 2m)(m^2 + 2m - 3) - 4$.

答案：
(1)$x^{2}-6x+8=x^{2}+[-4+(-2)]x+(-4)×(-2)=(x-4)(x-2)$
(2)①令$x-y=A$,
∴$(x-y)^{2}+4(x-y)+3=A^{2}+4A+3=A^{2}+(1+3)A+1×3=(A+3)(A+1)$.
∵$A=x-y$,
∴原式=$(x-y+3)(x-y+1)$. ②令$m^{2}+2m=B$,$(m^{2}+2m)(m^{2}+2m-3)-4=B(B-3)-4=B^{2}-3B-4=B^{2}+(-4+1)B+(-4)×1=(B-4)(B+1)$.
∵$B=m^{2}+2m$,
∴原式=$(m^{2}+2m-4)(m^{2}+2m+1)=(m^{2}+2m-4)(m+1)^{2}$.