《2025年同步练习册大象出版社八年级数学上册人教版》

1. (★)计算下列多项式的积：
(1) $(m + 3)(m - 3)$；
(2) $(3x + 4)(3x - 4)$。

答案： 1. （1）
解：根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(m + 3)(m - 3)$，这里$a = m$，$b = 3$。
则$(m + 3)(m - 3)=m^{2}-3^{2}=m^{2}-9$。
2. （2）
解：根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(3x + 4)(3x - 4)$，这里$a = 3x$，$b = 4$。
则$(3x + 4)(3x - 4)=(3x)^{2}-4^{2}=9x^{2}-16$。
综上，（1）的结果为$m^{2}-9$；（2）的结果为$9x^{2}-16$。

2. (★)观察第 1 题中两个式子及运算结果,用式子表示你发现的规律为$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$(a,b换为其他字母也正确)。也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。这个公式叫作(乘法的)平方差公式。

答案： $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$(a,b换为其他字母也正确) 这两个数的差

3. (★)直接写出下列多项式的积：
(1) $\left(\dfrac{1}{4}a - 1\right)\left(\dfrac{1}{4}a + 1\right)=$$\frac{1}{16}a^{2}-1$；
(2) $(-3y + y^{2})(y^{2} + 3y)=$$y^{4}-9y^{2}$。

答案：
(1)$\frac{1}{16}a^{2}-1$
(2)$y^{4}-9y^{2}$

4. (★)下列各式可以用平方差公式计算的是【B】
A.$(x + 2y)(2x - y)$
B.$(x^{2} + y)(x^{2} - y)$
C.$(-x + y)(x - y)$
D.$(x + y)(y + x)$

答案： B

5. (★)下列计算正确的是【C】
A.$(a + 3b)(a - 3b)= a^{2} - 3b^{2}$
B.$(-a + 3b)(a - 3b)= -a^{2} - 9b^{2}$
C.$(-a - 3b)(a - 3b)= -a^{2} + 9b^{2}$
D.$(-a - 3b)(a + 3b)= a^{2} - 9b^{2}$

答案： C

6. (★)填空：
(1) $(a - 5)(a + 5)= $$a^{2}-25$；
(2) $(2x + 3y)(2x - 3y)= $$4x^{2}-9y^{2}$；
(3) $(x + 3y)$($x-3y$)$=x^{2} - 9y^{2}$。

答案：
(1)$a^{2}-25$
(2)$4x^{2}-9y^{2}$
(3)$x-3y$

7. (★)填空：
(1) $(-3m - n)(3m - n)= $______$n^{2}-9m^{2}$；
(2) $(-1 + 2x)(-2x - 1)= $______$1-4x^{2}$。

答案：
(1)$n^{2}-9m^{2}$
(2)$1-4x^{2}$

8. (★)计算：
(1) $\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)$；
(2) $40\dfrac{2}{3}× 39\dfrac{1}{3}$；
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)$。

答案： $(1)$ 计算$\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$，
在$\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)$中，$a=\dfrac{1}{2}y$，$b = \dfrac{1}{3}x$，
则$\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right)=\left(\dfrac{1}{2}y\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}x\right)^2=\dfrac{1}{4}y^{2}-\dfrac{1}{9}x^{2}$。
$(2)$ 计算$40\dfrac{2}{3}× 39\dfrac{1}{3}$
解：
将$40\dfrac{2}{3}$变形为$40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}$变形为$40-\dfrac{2}{3}$，
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，这里$a = 40$，$b=\dfrac{2}{3}$，
则$40\dfrac{2}{3}× 39\dfrac{1}{3}=\left(40+\dfrac{2}{3}\right)\left(40-\dfrac{2}{3}\right)=40^{2}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=1600-\dfrac{4}{9}=1599\dfrac{5}{9}$。
$(3)$ 计算$(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)$
解：
对于$(2x - 3y)(3y + 2x)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，这里$a = 2x$，$b = 3y$，则$(2x - 3y)(3y + 2x)=(2x)^{2}-(3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$。
对于$(4y - 3x)(3x + 4y)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，这里$a = 4y$，$b = 3x$，则$(4y - 3x)(3x + 4y)=(4y)^{2}-(3x)^{2}=16y^{2}-9x^{2}$。
所以$(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)=(4x^{2}-9y^{2})-(16y^{2}-9x^{2})$
$=4x^{2}-9y^{2}-16y^{2}+9x^{2}=(4x^{2}+9x^{2})+(-9y^{2}-16y^{2}) = 13x^{2}-25y^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}y^{2}-\dfrac{1}{9}x^{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{1599\dfrac{5}{9}}$；$(3)$$\boldsymbol{13x^{2}-25y^{2}}$。