《2025年同步练习册大象出版社八年级数学上册人教版》

7. (★★)如图,$\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}, AC = AD$,$E$ 是 $AB$ 上的一点. 求证:$CE = DE$.

答案： 7.
∵ ∠ACB=∠ADB=90°,
∴ △ABC和△ABD是直角三角形
在Rt△ABC和Rt△ABD中
$\begin{cases}AB=AB\\AC=AD\end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
∴ ∠CAE=∠DAE.
在△CAE和△DAE中
$\begin{cases}AC=AD\\∠CAE=∠DAE\\AE=AE\end{cases}$
∴ △CAE≌△DAE(SAS).
∴ CE=DE.

8. (★★)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 外,连接 $AD$,作 $DE \perp AB$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,$AD = AB$,$AE = AC$.
(1)求证:$BC = DE$;
(2)若 $BF = 2, CF = 1$,求 $DF$ 的长.

答案： 8.
(1)
∵ ∠ACB=90°,DE⊥AB于点E,
∴ △ABC和△ADE是直角三角形.在Rt△ABC和Rt△ADE中,{AB=AB,AC=AE,
∴ Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).
∴ BC=DE.
(2)如图,连接AF.由
(1)知,BC=DE.
∵ BF=2,CF=1,
∴ BC=3.
∴ DE=3.在Rt△AEF和Rt△ACF中,{AF=AF,AE=AC,
∴ Rt△AEF≌Rt△ACF(HL).
∴ EF=CF=1.
∴ DF=DE+EF=3+1=4.

9. (★)如图,$BC \perp AC, ED \perp AB, BD = BC$,$AE = 5, DE = 2$,则 $AC$ 的长为【C】

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 9.C

10. (★★)如图,$D$ 是 $\angle MAN$ 内部一点,$DE \perp AM$ 于点 $E$,$DF \perp AN$ 于点 $F$,且 $DE = DF$,$B$ 是射线 $AM$ 上一点,$AB = 6, BE = 2$,在射线 $AN$ 上取一点 $C$,使得 $DC = DB$,则 $AC$ 的长为6或10.

答案： 10.6或10

11. (★★)如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$BE \perp AD$ 于点 $E$,$CF \perp AD$,交 $AD$ 的延长线于点 $F$,$G$ 是 $DA$ 延长线上一点,连接 $BG$.
(1)求证:$BE = CF$;
(2)若 $BG = CA$,求证:$GA = 2DE$.

答案： 11.
(1)
∵ AD是△ABC的中线,
∴ BD=CD.
∵ BE⊥AD,CF⊥AD,
∴ ∠BED=∠F=90°.在△BDE和△CDF中,{∠BED=∠F,∠BDE=∠CDF,BD=CD,
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ BE=CF.
(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,{BG=CA,BE=CF,
∴ Rt△BGE≌Rt△CAF(HL).
∴ GE=AF.
∴ GE - AE=AF - AE,即GA=EF.由
(1)知,△BDE≌△CDF,
∴ DE=DF.
∴ GA=EF=DE+DF=2DE.