《2025年同步练习册大象出版社八年级数学上册人教版》

9. (★★) 如图,已知 $ \triangle ABC $,按下列要求作图：
(1) 画出 $ \angle ABC $ 的平分线,并指出相等的角；
(2) 画出边 $ AC $ 上的中线,并指出相等的线段；
(3) 画出边 $ BC $ 上的高,并指出图中所有的直角三角形。

答案：

(1)如图,BD是∠ABC的平分线,∠ABD = ∠CBD.
(2)如图,BE是边AC上的中线,AE = CE.
(3)如图,延长CB,过点A作AF⊥CB,垂足为F,线段AF为边BC上的高.图中所有的直角三角形有△AFB和△AFC,共2个.

10. (★★) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线,$ \triangle ABD $ 的周长比 $ \triangle ADC $ 的周长多 2,且 $ AB $ 与 $ AC $ 的长的和为 10。
(1) 求 $ AB,AC $ 的长；
(2) 求边 $ BC $ 的长的取值范围。

答案：
(1)
∵ AD是边BC上的中线,
∴ BD = CD.
∴ △ABD的周长 - △ADC的周长=(AB + AD + BD) - (AC + AD + CD)=AB - AC = 2,即AB - AC = 2.①
又
∵ AB + AC = 10,②
∴ ① + ②,得2AB = 12.解得AB = 6.
② - ①,得2AC = 8,解得AC = 4.
∴ AB = 6,AC = 4.
(2)
∵ AB = 6,AC = 4,
∴ AB - AC ＜ BC ＜ AB + AC,即2 ＜ BC ＜ 10.
∴ 边BC的长的取值范围为2 ＜ BC ＜ 10.

11. (★) 如图,$ AD,AE,AF $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的中线、角平分线、高,下列选项错误的是【D】

A.$ BC = 2CD $
B.$ \angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC $
C.$ \angle AFB = 90° $
D.$ AE = CE $

答案： D

12. (★★) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle 1 = \angle 2 $,$ G $ 为 $ AD $ 的中点,连接 $ BG $ 并延长 $ BG $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,$ F $ 为 $ AB $ 上的一点,$ CF \perp AD $ 于点 $ H $。下列判断错误的是 【C】

A.$ AG $ 是 $ \triangle ABE $ 的角平分线
B.$ CH $ 为 $ \triangle ACD $ 的边 $ AD $ 上的高
C.$ BE $ 是 $ \triangle ABD $ 的边 $ AD $ 上的中线
D.$ AH $ 为 $ \triangle AFC $ 的高

答案： C

13. (★★) 如图,$ G $ 为 $ \triangle ABC $ 三边中线 $ AD,BE,CF $ 的交点,$ S_{\triangle ABC} = 12 cm^2 $,则阴影部分的面积为 【A】

A.$ 4 cm^2 $
B.$ 5 cm^2 $
C.$ 6 cm^2 $
D.$ 8 cm^2 $

答案： A

14. (★★) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中 ($ AC ＞ AB $),$ AC = 2BC $,边 $ BC $ 上的中线 $ AD $ 把 $ \triangle ABC $ 的周长分成 $ 60 cm $ 和 $ 40 cm $ 两部分,求边 $ AC $ 和 $ AB $ 的长。(提示：设 $ CD = x cm $)

答案：
∵ AD是△ABC的边BC上的中线,
∴ BD = CD.
设BD = CD = x cm,AB = y cm.
∵ AC = 2BC,
∴ AC = 4x cm.
∵ AC ＞ AB,
∴ AC + CD = 60 cm,AB + BD = 40 cm,
即4x + x = 60,x + y = 40.解得x = 12,y = 28.
∴ AC = 4x = 48 cm,AB = 28 cm.