《2025年同步练习册大象出版社八年级数学上册人教版》

15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle BAC = 80° $,$ D $ 是边 $ BC $ 上一点(不与点 $ B $,$ C $ 重合),$ \angle DAC $ 和 $ \angle BCA $ 的平分线交于点 $ E $。
(1)若 $ \angle BAD = 20° $,则 $ \angle AEC $ 的度数为125°；
(2)记 $ \angle DAE $ 和 $ \angle ACE $ 的度数之和为 $ m $,则 $ m $ 的取值范围为25°＜m＜65°。

答案：
(1)125°
(2)25°＜m＜65°

16. 如图,已知 $ AB = AC = AD $,且 $ AD // BC $。求证：$ \angle C = 2 \angle D $。

答案：
∵ AD//BC,
∴ ∠D=∠DBC.
∵ AB=AD,
∴ ∠D=∠ABD.
∴ ∠ABD=∠DBC.
∴ ∠ABC=2∠D.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C.
∴ ∠C=2∠D.

17. 如图①和图②,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = \alpha $,$ \angle BCD = 180° - \alpha $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $。
(1)如图①,若 $ \alpha = 90° $,根据教材中的一个重要性质直接可得 $ DA = CD $,这个性质是______。
(2)问题解决：如图②,求证：$ AD = CD $。
(3)问题拓展：如图③,在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 100° $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $。求证：$ BD + AD = BC $。

答案：

(1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)如图,过点D作DE⊥BA交BA延长线于点E,DF⊥BC于点F,则∠DEA=∠DFC=90°.
∵ BD平分∠EBF,DE⊥BE,
DF⊥BF,
∴ DE=DF.
∵ ∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,
∴ ∠EAD=∠C.
在△DEA和△DFC中,
$\begin{cases}\angle DEA=\angle DFC,\\\angle EAD=\angle C,\\DE=DF,\end{cases}$
∴ △DEA≌△DFC(AAS).
∴ AD=CD.

(3)如图,在BC上截取BK=BD,连接DK;
∵ AB=AC,∠A=100°,
∴ ∠ABC=∠C=40°.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠DBK=$\frac{1}{2}\angle ABC=20°$.
∵ BD=BK,
∴ ∠BKD=∠BDK=80°.
∴ ∠A+∠BKD=180°.
由
(2)的结论,得AD=DK.
∵ ∠BKD=∠C+∠KDC,
∴ ∠KDC=∠C=40°.
过点K作KH⊥AC于点H,易证△DHK≌△CHK.
∴ DK=CK.
∴ AD=DK=CK.
∴ BD+AD=BK+CK=BC.