《2025年同步练习册大象出版社八年级数学上册人教版》

15. (★★) 如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,∠2 = ∠1 + ∠C.
(1) 求证：AD⊥BE；
(2) 若∠ABC = 2∠1,求证：∠BAC = 90°.
]

答案：
(1)
∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵ ∠AED+∠BEC=180°,在△BEC中，∠EBC+∠C+∠BEC=180°,
∴ ∠AED=∠EBC+∠C.同理∠ADB=∠1+∠AED.
∴ ∠ADB=∠1+∠C+∠ABE.又
∵ ∠2=∠1+∠C,
∴ ∠ADB=∠2+∠ABD.在△ABD中，∠ABD+∠2+∠ADB=180°,
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴ AD⊥BE.
(2)
∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠1,
∴ ∠ABE=∠1.由
(1)可知，∠2+∠ABD=90°,
∴ ∠2+∠1=90°.
∴ ∠BAC=90°.

16. (★★★) (1) 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,若∠A = 42°,求∠BOC的度数；
(2) 把(1)中“∠A = 42°”这个条件去掉,试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系.
]

答案：
(1)
∵ ∠A=42°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°.
∵ BO,CO分别是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线，
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴ ∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×138°=69°.
∴ ∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-69°=111°.
(2)
∵ BO,CO分别是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线，
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴ ∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A).
∴ ∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

17. (★★★) 如图,在△ABC中,点D在边BC上,点E在边AC上,连接AD,DE,∠B = 60°.
(1) 若∠3 = 60°,试说明∠1 = ∠2；
(2) 若∠C = 40°,∠1 = 50°,且∠3 = ∠4,求∠2的度数.
]

答案：
(1)在△ABD中，∠B=60°,
∴ ∠1=180°-∠B-∠ADB=120°-∠ADB.又
∵ ∠3=60°,
∴ ∠2=180°-∠3-∠ADB=120°-∠ADB.
∴ ∠1=∠2.
(2)
∵ ∠C=40°,∠B=60°,
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.又
∵ ∠1=50°,
∴ ∠DAE=∠BAC-∠1=30°.又
∵ ∠3=∠4,∠DAE+∠3+∠4=180°,
∴ ∠4=75°.
∴ ∠DEC=180°-∠4=105°.
∴ ∠2=180°-∠DEC-∠C=35°.