《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

22. 阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等。但有的多项式只用上述方法无法分解,如$x^{2}-4y^{2}+2x - 4y$,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为：

这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：$9x^{2}-y^{2}-9x + 3y$；
(2)已知$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0$,判断$\triangle ABC$的形状并说明理由。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&9x^{2}-y^{2}-9x + 3y\\=&(9x^{2}-y^{2})-(9x - 3y)\\=&(3x - y)(3x + y)-3(3x - y)\\=&(3x - y)(3x + y - 3)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&a^{2}-b^{2}-ac + bc\\=&(a^{2}-b^{2})-(ac - bc)\\=&(a - b)(a + b)-c(a - b)\\=&(a - b)(a + b - c)\end{aligned}$
因为$a$,$b$,$c$是三角形三边，所以$a + b - c\gt0$。
又因为$a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0$，即$(a - b)(a + b - c)=0$，所以$a - b = 0$，即$a = b$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。