《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

20. 有一张边长为$a$厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加$b$厘米,木工师傅设计的三种方案如图所示：

小明发现这三种方案都能验证公式：$a^{2}+2ab + b^{2}= (a + b)^{2}$,对于方案一,小明是这样验证的：$a^{2}+ab + ab + b^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}= (a + b)^{2}$。
请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程。

答案： 方案二验证过程：
大正方形面积 = 阴影长方形面积 + 空白长方形面积 + 空白小正方形面积
阴影长方形面积 = $a(a + b)$，空白长方形面积 = $b(a + b)$
则总面积 = $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)^2$
又总面积 = $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
故 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
方案三验证过程：
大正方形面积 = 阴影正方形面积 + 两个直角梯形面积
阴影正方形面积 = $a^2$，每个直角梯形上底 = $a$，下底 = $a + b$，高 = $b$
一个梯形面积 = $\frac{1}{2}(a + a + b)b = \frac{1}{2}(2a + b)b = ab + \frac{1}{2}b^2$
两个梯形面积 = $2(ab + \frac{1}{2}b^2) = 2ab + b^2$
总面积 = $a^2 + 2ab + b^2$
又总面积 = $(a + b)^2$
故 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

21. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x² - y²(x,y均为自然数)”的问题。
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：

按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)24 = (7)² - (5)²；
(ⅱ)4n = (n + 1)² - (n - 1)²；
(2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4n - 2(n为正整数)的正整数N不能表示为x² - y²(x,y均为自然数)。师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n - 2 = x² - y²，其中x，y均为自然数。
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x = 2k，y = 2m，其中k，m均为自然数，
则x² - y²=(2k)² - (2m)²=4(k² - m²)为4的倍数。
而4n - 2不是4的倍数，矛盾。故x，y不可能均为偶数。
②若x，y均为奇数，设x = 2k + 1，y = 2m + 1，其中k，m均为自然数，
则x² - y²=(2k + 1)² - (2m + 1)²=4(k² - m² + k - m)为4的倍数。
而4n - 2不是4的倍数，矛盾。故x，y不可能均为奇数。
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x² - y²为奇数。
而4n - 2是偶数，矛盾。故x，y不可能一个是奇数一个是偶数。
由①②③可知，猜测正确。
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容，并写出推理过程。
推理过程：
$\begin{aligned}&(2k + 1)^2 - (2m + 1)^2\\=&4k^2 + 4k + 1 - (4m^2 + 4m + 1)\\=&4k^2 + 4k + 1 - 4m^2 - 4m - 1\\=&4(k^2 - m^2 + k - m)\end{aligned}$

答案：
(1)(ⅰ)$7$；$5$
(ⅱ)$(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}$
(2)
$\begin{aligned}&(2k + 1)^{2}-(2m + 1)^{2}\\=&4k^{2}+4k + 1-(4m^{2}+4m + 1)\\=&4k^{2}+4k + 1 - 4m^{2}-4m - 1\\=&4(k^{2}-m^{2}+k - m)\end{aligned}$
故答案为$4(k^{2}-m^{2}+k - m)$。