《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

22. 阅读理解：求代数式$x^{2}+4x + 8$的最小值。
解：$\because x^{2}+4x + 8= (x^{2}+4x + 4)+4= (x + 2)^{2}+4\geq4$,
$\therefore当x= -2$时,代数式$x^{2}+4x + 8的最小值是4$。
仿照应用求值：
(1)求代数式$m^{2}+2m + 3$的最小值；
(2)求代数式$-m^{2}+3m+\frac{3}{4}$的最大值。

答案：
(1)
$m^{2}+2m + 3=(m^{2}+2m + 1)+2=(m + 1)^{2}+2\geq2$。
当$m = - 1$时，代数式$m^{2}+2m + 3$的最小值是$2$。
(2)
$-m^{2}+3m+\frac{3}{4}=-(m^{2}-3m)+\frac{3}{4}=-(m^{2}-3m+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+\frac{3}{4}=-(m^{2}-3m+\frac{9}{4})+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=-(m - \frac{3}{2})^{2}+3$。
因为$-(m - \frac{3}{2})^{2}\leq0$，所以$-(m - \frac{3}{2})^{2}+3\leq3$。
当$m=\frac{3}{2}$时，代数式$-m^{2}+3m+\frac{3}{4}$的最大值是$3$。

23. 【教材重现】如图1,边长为$a的大正方形中有一个边长为b$的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)。
上述操作能验证的公式是$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接,其中$B$,$C$,$G$三点在同一直线上。若$a + b= 20$,$ab= 80$,求阴影部分的面积。
由题意，阴影部分面积为 $\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。已知 $a + b = 20$，$ab = 80$，则 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 20^2 - 2 × 80 = 240$。代入得：$\frac{1}{2}(240 - 80) = 80$。
【拓展应用】根据前面的【类比探究】：若$x满足(3 - 4x)(2x - 5)= \frac{9}{2}$,求$(3 - 4x)^{2}+4(2x - 5)^{2}$的值。
设 $m = 3 - 4x$，$n = 2x - 5$，则 $mn = \frac{9}{2}$。计算 $m + 2n = (3 - 4x) + 2(2x - 5) = 3 - 4x + 4x - 10 = -7$。原式 $= m^2 + (2n)^2 = (m + 2n)^2 - 4mn = (-7)^2 - 4 × \frac{9}{2} = 49 - 18 = 31$。

答案： 教材重现
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
类比探究
由题意，阴影部分面积为 $\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。
已知 $a + b = 20$，$ab = 80$，则 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 20^2 - 2 × 80 = 240$。
代入得：$\frac{1}{2}(240 - 80) = 80$。
拓展应用
设 $m = 3 - 4x$，$n = 2x - 5$，则 $mn = \frac{9}{2}$。
计算 $m + 2n = (3 - 4x) + 2(2x - 5) = 3 - 4x + 4x - 10 = -7$。
原式 $= m^2 + (2n)^2 = (m + 2n)^2 - 4mn = (-7)^2 - 4 × \frac{9}{2} = 49 - 18 = 31$。
答案
教材重现：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；类比探究：$80$；拓展应用：$31$。