《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

21. (10分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

已知该运动服的进价为每件60元,设售价为 $ x $ 元。
(1)请用含 $ x $ 的式子表示：
① 销售该运动服每件的利润是(x-60)元；
② 月销量是(-2x+400)件；
(2)设销售该运动服的月利润为 $ y $ 元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少？

答案： 解:
(1)①(x-60)　②(-2x+400)
(2)由题意得,y=(x-60)·(-2x+400)=-2x²+520x-24000=-2(x-130)²+9800,
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元.

22. (16分)如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx + 3 (a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。已知点 $ A $ 的坐标是 $ (-1, 0) $,抛物线的对称轴是直线 $ x = 1 $。
(1)直接写出点 $ B $ 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 $ P $,使 $ PA + PC $ 的值最小。求点 $ P $ 的坐标和 $ PA + PC $ 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 $ M $,过点 $ M $ 作 $ MN \perp x $ 轴,垂足为 $ N $,连接 $ BC $ 交 $ MN $ 于点 $ Q $。依题意补全图形,当 $ MQ + \sqrt{2}CQ $ 的值最大时,求点 $ M $ 的坐标。

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)的对称轴是直线x=1,
∴-b/2a=1,
∴b=-2a.①
∵抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，点A的坐标是(-1,0)，
∴a-b+3=0,②
联立①②,得{b=-2a,a-b+3=0}，解得{a=-1,b=2},
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+3,令y=0得-x²+2x+3=0,解得x=3或x=-1,
∴点B的坐标为(3,0).
(2)如答图①,连接BC,线段BC与直线x=1的交点就是所求作的点P.
设直线CB的表达式为y=kx+b',把C(0,3)和B(3,0)代入，得{b'=3,0=3k+b'}，解得{b'=3,k=-1},
∴直线CB的表达式为y=-x+3,
∴当x=1时,y=2,
∴P(1,2).
∵OB=OC=3,在Rt△BOC中,BC=3√2,
∵点A,B关于直线x=1对称，
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC=BC=3√2.
(3)补全图形如答图②所示.
由
(1)得抛物线的表达式为y=-x²+2x+3,由
(2)得y_BC=-x+3,故设M(t,-t²+2t+3),则Q(t,-t+3),
∴MQ=-t²+3t.
过点Q作QD⊥OC,垂足为D,则△CDQ是等腰直角三角形.
∴CQ=√2t,
∴MQ+√2CQ=-t²+3t+2t=-t²+5t=-(t-5/2)²+25/4,
∴当t=5/2时，MQ+√2CQ有最大值，此时点M(5/2,7/4).