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20. (6分)已知关于$x的一元二次方程\frac{1}{2}mx^{2} + mx + m - 1 = 0$有两个相等的实数根.
(1)求$m$的值；
(2)求原方程的根.
(1)求$m$的值；
(2)求原方程的根.
答案：
1. （1）
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx + m - 1 = 0$中，$a=\frac{1}{2}m$，$b = m$，$c=m - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$且$a\neq0$（即$\frac{1}{2}m\neq0$，$m\neq0$）。
由$\Delta=b^{2}-4ac$可得：
$m^{2}-4×\frac{1}{2}m×(m - 1)=0$。
展开式子：$m^{2}-2m(m - 1)=0$。
去括号：$m^{2}-2m^{2}+2m = 0$。
合并同类项：$-m^{2}+2m = 0$。
提取公因式$-m$得：$-m(m - 2)=0$。
则$m = 0$或$m - 2 = 0$。
又因为$m\neq0$，所以$m = 2$。
2. （2）
把$m = 2$代入原方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx + m - 1 = 0$，得到：
$\frac{1}{2}×2x^{2}+2x+2 - 1 = 0$。
化简得：$x^{2}+2x + 1 = 0$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a=x$，$b = 1$，方程可化为$(x + 1)^{2}=0$。
解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，（1）$m = 2$；（2）$x_{1}=x_{2}=-1$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx + m - 1 = 0$中，$a=\frac{1}{2}m$，$b = m$，$c=m - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$且$a\neq0$（即$\frac{1}{2}m\neq0$，$m\neq0$）。
由$\Delta=b^{2}-4ac$可得：
$m^{2}-4×\frac{1}{2}m×(m - 1)=0$。
展开式子：$m^{2}-2m(m - 1)=0$。
去括号：$m^{2}-2m^{2}+2m = 0$。
合并同类项：$-m^{2}+2m = 0$。
提取公因式$-m$得：$-m(m - 2)=0$。
则$m = 0$或$m - 2 = 0$。
又因为$m\neq0$，所以$m = 2$。
2. （2）
把$m = 2$代入原方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx + m - 1 = 0$，得到：
$\frac{1}{2}×2x^{2}+2x+2 - 1 = 0$。
化简得：$x^{2}+2x + 1 = 0$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a=x$，$b = 1$，方程可化为$(x + 1)^{2}=0$。
解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，（1）$m = 2$；（2）$x_{1}=x_{2}=-1$。
21. (6分)已知关于$x的一元二次方程mx^{2} - (m + 2)x + 2 = 0$.
(1)证明：不论$m$为何值,方程总有实数根；
(2)$m$为何整数时,方程有两个不相等的正整数根？
(1)证明：不论$m$为何值,方程总有实数根；
(2)$m$为何整数时,方程有两个不相等的正整数根？
答案：
(1)证明:Δ=(m+2)²-8m=m²-4m+4=(m-2)²,
∵不论m为何值时,(m-2)²≥0,
∴Δ≥0,
∴方程总有实数根；
(2)解:解方程,得x=(m+2)±(m-2)/2m,
∴x₁=2/m,x₂=1.
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1
(1)证明:Δ=(m+2)²-8m=m²-4m+4=(m-2)²,
∵不论m为何值时,(m-2)²≥0,
∴Δ≥0,
∴方程总有实数根；
(2)解:解方程,得x=(m+2)±(m-2)/2m,
∴x₁=2/m,x₂=1.
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1
22. (8分)李明准备进行如下操作实验,把一根长40cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$58cm^{2}$,李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48cm^{2}$,你认为他的说法正确吗？请说明理由.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$58cm^{2}$,李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48cm^{2}$,你认为他的说法正确吗？请说明理由.
答案：
(1)设剪成的较短的一段为x cm,较长的一段为(40-x)cm,由题意,得(x/4)²+(40-x/4)²=58,解得x₁=12,x₂=28,当x=12时,较长的一段为40-12=28(cm),当x=28时,较长的一段为40-28=12＜28(舍去).故李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；
(2)李明的说法正确.理由如下:设剪成的较短的这段为m cm,较长的这段就为(40-m)cm,由题意,得(m/4)²+(40-m/4)²=48,变形为m²-40m+416=0,因为Δ=(-40)²-4×416=-64＜0,所以原方程无实数根,故李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²
(1)设剪成的较短的一段为x cm,较长的一段为(40-x)cm,由题意,得(x/4)²+(40-x/4)²=58,解得x₁=12,x₂=28,当x=12时,较长的一段为40-12=28(cm),当x=28时,较长的一段为40-28=12＜28(舍去).故李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；
(2)李明的说法正确.理由如下:设剪成的较短的这段为m cm,较长的这段就为(40-m)cm,由题意,得(m/4)²+(40-m/4)²=48,变形为m²-40m+416=0,因为Δ=(-40)²-4×416=-64＜0,所以原方程无实数根,故李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²
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