《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

24. (本小题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,四边形$OABC的顶点O$是坐标原点,点$A$在第一象限,点$C$在第四象限,点$B在x$轴的正半轴上,$∠OAB= 90^{\circ}且OA= AB,OB= 6,OC= 5$.
(1)求点$A和点B$的坐标;
(2)点$P是线段OB$上的一个动点(点$P不与点O,B$重合),以每秒1个单位长度的速度由点$O向点B$运动,过点$P的直线a与y$轴平行,直线$a交边OA或边AB于点Q$,交边$OC或边BC于点R$,设点$P的运动时间为t$,线段$QR的长度为m$,已知$t= 4$时,直线$a恰好过点C$.
①当$0\lt t\lt3$时,求$m关于t$的函数关系式;
②点$P出发时点E也从点B$出发,以每秒1个单位长度的速度向点$O$运动,点$P停止时点E$也停止.设$\triangle QRE的面积为S$,求$S与t$的函数关系式;
③直接写出②中$S$的最大值是______.

解:
(1)
∵OB=6,
∴B(6,0),过点A作AM⊥x轴于点M,
∵∠OAB=90°,且OA=AB,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴OM=MA=MB=1/2OB=3,
∴A(3,3).
(2)①过点C作CN⊥x轴于点N,
∵t=4时,直线a恰好过点C,
∴ON=4.在Rt△OCN中,CN=√(5² - 4²)=3,
∴C(4,-3).易得直线OC,BC的函数关系式分别为y=-3/4x,y=3/2x - 9,直线OA,AB的函数关系式分别为y=x,y=-x + 6.
∵OP=t×1=t,
∴当0＜t＜3时,P(t,0),Q(t,t),R(t,-3/4t),m=QR=t-(-3/4t)=7/4t(0＜t＜3).②当0＜t＜3时,QR=7/4t,S=1/2·7/4t·(6 - 2t)=-7/4t² + 21/4t;当t=3时,点Q,R,E不能构成三角形;当3＜t≤4时,QR=-1/4t + 6,S=1/2·(-1/4t + 6)(2t - 6)=-1/4t² + 27/4t - 18;当4＜t＜6时,QR=-5/2t + 15,S=1/2·(-5/2t + 15)(2t - 6)=-5/2t² + 45/2t - 45.③5.625

答案： 解:
(1)
∵OB=6,
∴B(6,0),过点A作AM⊥x轴于点M,
∵∠OAB=90°,且OA=AB,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴OM=MA=MB=1/2OB=3,
∴A(3,3).
(2)①过点C作CN⊥x轴于点N,
∵t=4时,直线a恰好过点C,
∴ON=4.在Rt△OCN中,CN=√(5² - 4²)=3,
∴C(4,-3).易得直线OC,BC的函数关系式分别为y=-3/4x,y=3/2x - 9,直线OA,AB的函数关系式分别为y=x,y=-x + 6.
∵OP=t×1=t,
∴当0＜t＜3时,P(t,0),Q(t,t),R(t,-3/4t),m=QR=t-(-3/4t)=7/4t(0＜t＜3).②当0＜t＜3时,QR=7/4t,S=1/2·7/4t·(6 - 2t)=-7/4t² + 21/4t;当t=3时,点Q,R,E不能构成三角形;当3＜t≤4时,QR=-1/4t + 6,S=1/2·(-1/4t + 6)(2t - 6)=-1/4t² + 27/4t - 18;当4＜t＜6时,QR=-5/2t + 15,S=1/2·(-5/2t + 15)(2t - 6)=-5/2t² + 45/2t - 45.③5.625

25. (本小题满分10分)如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 6\ \mathrm{cm},AD= 2\ \mathrm{cm}$,点$E从点A$开始,沿射线$AB$方向平移,在平移过程中,以线段$AE为斜边向上作等腰直角三角形AEF$,当$EF过点C$时,点$E$停止移动,设点$E平移的距离为x(\mathrm{cm})$,$\triangle AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为y(\mathrm{cm}^{2})$.
(1)当点$F落在CD$上时,$x= $______;
(2)求$y关于x$的函数解析式;并写出自变量$x$的取值范围;
(3)设$EF的中点为Q$,直接写出在整个平移过程中点$Q$移动的距离.

答案：
解:
(1)4 cm 点拨:如答图①所示,

∵点F落在CD上,△AEF是等腰直角三角形,
∴可得AD=DF=2 cm,则AF=FE=2√2cm,
∴x=AE=√((2√2)²+(2√2)²)=4(cm).
(2)Ⅰ.当0＜x≤4时,如答图②所示,过点F作FH⊥AB于点H.则FH=1/2AE=1/2x,

∴y=S△AEF=1/2AE·FH=1/2x·1/2x=1/4x².Ⅱ.当4＜x≤6时,如答图③所示,过点F作FH⊥AB于点H,FH交CD于点G,AF,EF分别交CD于点M,N,由题意可得,△MNF是等腰直角三角形,

∴FG=FH - GH=(1/2x - 2)cm,
∴MN=2FG=2(1/2x - 2)=(x - 4)cm,
∴S△MNF=1/2MN·FG=1/2(x - 4)·(1/2x - 2)=(1/2x - 2)²,
∴y=S△AEF - S△MNF=1/4x²-(1/2x - 2)²=2x - 4.
Ⅲ.当6＜x≤8时,如答图④所示,过点F作FH⊥AB于点H,FH交CD于点G,AF、EF分别交CD于点M、N,EF交BC于点P,

由题意可得,△MNF,△EPB都是等腰直角三角形,S△MNF=(1/2x - 2)²,S△EPB=1/2EB·BP=1/2(x - 6)²,
∴y=S△AEF - S△MNF - S△EPB=-1/2x² + 8x - 22.综上所述:y={1/4x²(0＜x≤4),2x - 4(4＜x≤6),-1/2x² + 8x - 22(6＜x≤8)}.
(3)2√10cm 点拨:如答图⑤.

∵EF的中点为Q,
∴当E点停止时,可得△ADM,△FMC,△CBE为等腰直角三角形,则AD=DM=2 cm,BC=BE=2 cm,故MC=4 cm,AE=8 cm,
∴MC/AE=1/2,
∴此时C,Q点重合,
∴AQ=2√10cm,即在整个平移过程中点Q移动的距离为2√10cm.