搜索
23. (8分)某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,且每件商品售价与其销售量是一次函数关系. 若每件商品售价为25元,则可卖出100件；若每件商品售价为30元,则可卖出50件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.
(1)求该商品的销售量与售价的函数表达式；
(2)若商店计划要赚400元,则需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？
(1)求该商品的销售量与售价的函数表达式；
(2)若商店计划要赚400元,则需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？
答案：
1. （1）
设销售量$y$与售价$x$的函数表达式为$y = kx + b$。
把$\begin{cases}x = 25,y = 100\\x = 30,y = 50\end{cases}$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}25k + b = 100\\30k + b = 50\end{cases}$。
用$25k + b = 100$减去$30k + b = 50$，即$(25k + b)-(30k + b)=100 - 50$。
展开括号得$25k + b-30k - b = 50$，合并同类项得$-5k = 50$，解得$k=-10$。
把$k = - 10$代入$25k + b = 100$，得$25×(-10)+b = 100$，即$-250 + b = 100$，解得$b = 350$。
所以$y=-10x + 350$。
2. （2）
每件商品的利润为$(x - 21)$元，销售量为$y=-10x + 350$件。
根据总利润$=$每件利润$×$销售量，可得$(x - 21)(-10x + 350)=400$。
展开括号得$-10x^{2}+350x + 210x-7350 = 400$。
整理得$-10x^{2}+560x-7750 = 0$，两边同时除以$-10$得$x^{2}-56x + 775 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-56$，$c = 775$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-56)^{2}-4×1×775=3136 - 3100 = 36$。
则$x=\frac{56\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{56\pm6}{2}$。
$x_{1}=\frac{56 + 6}{2}=31$，$x_{2}=\frac{56 - 6}{2}=25$。
因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的$20\%$，则$x\leqslant21×(1 + 20\%)=21×1.2 = 25.2$。
所以$x = 25$。
当$x = 25$时，$y=-10×25 + 350=-250 + 350 = 100$。
综上，（1）函数表达式为$y=-10x + 350$；（2）需要卖出$100$件商品，每件商品应售价$25$元。
设销售量$y$与售价$x$的函数表达式为$y = kx + b$。
把$\begin{cases}x = 25,y = 100\\x = 30,y = 50\end{cases}$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}25k + b = 100\\30k + b = 50\end{cases}$。
用$25k + b = 100$减去$30k + b = 50$，即$(25k + b)-(30k + b)=100 - 50$。
展开括号得$25k + b-30k - b = 50$，合并同类项得$-5k = 50$，解得$k=-10$。
把$k = - 10$代入$25k + b = 100$，得$25×(-10)+b = 100$，即$-250 + b = 100$，解得$b = 350$。
所以$y=-10x + 350$。
2. （2）
每件商品的利润为$(x - 21)$元，销售量为$y=-10x + 350$件。
根据总利润$=$每件利润$×$销售量，可得$(x - 21)(-10x + 350)=400$。
展开括号得$-10x^{2}+350x + 210x-7350 = 400$。
整理得$-10x^{2}+560x-7750 = 0$，两边同时除以$-10$得$x^{2}-56x + 775 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-56$，$c = 775$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-56)^{2}-4×1×775=3136 - 3100 = 36$。
则$x=\frac{56\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{56\pm6}{2}$。
$x_{1}=\frac{56 + 6}{2}=31$，$x_{2}=\frac{56 - 6}{2}=25$。
因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的$20\%$，则$x\leqslant21×(1 + 20\%)=21×1.2 = 25.2$。
所以$x = 25$。
当$x = 25$时，$y=-10×25 + 350=-250 + 350 = 100$。
综上，（1）函数表达式为$y=-10x + 350$；（2）需要卖出$100$件商品，每件商品应售价$25$元。
24. (10分)自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某运动商城的自行车销售量自今年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车的进价为1000元/辆,售价为1300元/辆. 根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍. 假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货？
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车的进价为1000元/辆,售价为1300元/辆. 根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍. 假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货？
答案：
(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x,根据题意列方程得64(1+x)²=100,解得x₁=-225%(不合题意,舍去),x₂=25%,100×(1+25%)=125(辆).答:该商城4月份卖出125辆自行车；
(2)设购进B型车x辆,则购进A型车(30000-1000x)/500辆,根据题意得不等式组2x≤(30000-1000x)/500≤2.8x,解得12.5≤x≤15.
∵自行车辆数为整数,
∴13≤x≤15,销售利润W=(700-500)×(30000-1000x)/500+(1300-1000)x,整理得W=-100x+12000.
∵W随着x的增大而减小,
∴当x=13时,销售利润W有最大值,此时,(30000-1000x)/500=34.答:该商城应购进A型车34辆,B型车13辆
(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x,根据题意列方程得64(1+x)²=100,解得x₁=-225%(不合题意,舍去),x₂=25%,100×(1+25%)=125(辆).答:该商城4月份卖出125辆自行车；
(2)设购进B型车x辆,则购进A型车(30000-1000x)/500辆,根据题意得不等式组2x≤(30000-1000x)/500≤2.8x,解得12.5≤x≤15.
∵自行车辆数为整数,
∴13≤x≤15,销售利润W=(700-500)×(30000-1000x)/500+(1300-1000)x,整理得W=-100x+12000.
∵W随着x的增大而减小,
∴当x=13时,销售利润W有最大值,此时,(30000-1000x)/500=34.答:该商城应购进A型车34辆,B型车13辆
查看更多完整答案，请扫码查看
