《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

16. 二次函数 $ y = \sqrt{3}x^2 $ 的图象如图,点 $ O $ 为坐标原点,点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,点 $ B $、$ C $ 在二次函数 $ y = \sqrt{3}x^2 $ 的图象上,四边形 $ OBAC $ 为菱形,且 $ \angle OBA = 120° $,则菱形 $ OBAC $ 的面积为2√3。

答案： 2√3

17. 某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现：当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为22元时,该服装店平均每天的销售利润最大。

答案： 22

18. 已知抛物线 $ p: y = ax^2 + bx + c $ 的顶点为 $ C $,与 $ x $ 轴相交于 $ A $、$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ C' $,我们称以 $ A $ 为顶点且过点 $ C' $,对称轴与 $ y $ 轴平行的抛物线为抛物线 $ p $ 的“梦之星”抛物线,直线 $ AC' $ 为抛物线 $ p $ 的“梦之星”直线。若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 $ y = x^2 + 2x + 1 $ 和 $ y = 2x + 2 $,则这条抛物线的解析式为______。
y=x²-2x-3

答案： y=x²-2x-3 点拨:
∵y=x²+2x+1=(x+1)²,
∴A点坐标为(-1,0),解方程组{y=x²+2x+1,y=2x+2}得{x=-1,y=0}或{x=1,y=4},
∴点C'的坐标为(1,4).
∵点C和点C'关于x轴对称，
∴C(1,-4).设原抛物线解析式为y=a(x-1)²-4,把A(-1,0)代入得4a-4=0,解得a=1,
∴原抛物线解析式为y=(x-1)²-4=x²-2x-3.

19. (10分)已知一抛物线与 $ x $ 轴的交点是 $ A(-2, 0) $、$ B(1, 0) $,且抛物线经过点 $ C(2, 8) $。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标。

答案：
(1)y=2(x+1/2)²-9/2　
(2)(-1/2,-9/2)

20. (10分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的网围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等。设 $ BC $ 的长度为 $ x $ m,矩形区域 $ ABCD $ 的面积为 $ y $ $ m^2 $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,并注明自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)$ x $ 为何值时,$ y $ 有最大值？最大值是多少？

答案： 解:
(1)
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE.设BE=a,则AE=2a,
∴8a+2x=80,
∴a=-1/4x+10,2a=-1/2x+20,
∴y=(-1/2x+20)x+(-1/4x+10)x=-3/4x²+30x.
∵a=-1/4x+10＞0,
∴x＜40.则y=-3/4x²+30x(0＜x＜40).
(2)
∵y=-3/4x²+30x=-3/4(x-20)²+300(0＜x＜40)，且二次项系数为-3/4＜0,
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300.