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10. 若关于$x的一元二次方程为ax^{2} + bx + 5 = 0(a \neq 0)的解是x = 1$,则$2013 - a - b$的值是(
A.2018
B.2008
C.2014
D.2012
A
)A.2018
B.2008
C.2014
D.2012
答案：
A
11. 如果$x^{2} - x - 1 = x^{0}$,那么$x$的值为(
A.2或$-1$
B.0或1
C.2
D.$-1$
A
)A.2或$-1$
B.0或1
C.2
D.$-1$
答案：
A
12. 有两个一元二次方程：$M:ax^{2} + bx + c = 0$,$N:cx^{2} + bx + a = 0$,其中$a + c = 0$,下列四个结论中,错误的是(
A.如果方程$M$有两个不相等的实数根,那么方程$N$也有两个不相等的实数根
B.如果方程$M$两根的符号相同,那么方程$N$两根的符号也相同
C.如果5是方程$M$的一个根,那么$\frac{1}{5}是方程N$的一个根
D.如果方程$M和方程N$有一个相同的根,那么这个根必是$x = 1$
D
)A.如果方程$M$有两个不相等的实数根,那么方程$N$也有两个不相等的实数根
B.如果方程$M$两根的符号相同,那么方程$N$两根的符号也相同
C.如果5是方程$M$的一个根,那么$\frac{1}{5}是方程N$的一个根
D.如果方程$M和方程N$有一个相同的根,那么这个根必是$x = 1$
答案：
D 点拨:A中,
∵M有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,即b²-4ac＞0,而此时N的判别式Δ=b²-4ac＞0,故它也有两个不相等的实数根;B中,M的两根符号相同:即x₁·x₂=c/a＞0,而N的两根之积a/c＞0,故N的两个根也是同号的;C中,如果5是M的一个根,则有25a+5b+c=0①,我们只需要考虑将1/5代入N方程看是否成立,代入得1/25c+1/5b+a=0②,比较①与②,可知②式是由①式两边同时除以25得到,故②式成立;D中,方程M与方程N相减,可得(a-c)x²=(a-c),
∴x²=1,即x=±1,故可知,它们如果有相同的根可能是1或-1.故答案为D.
∵M有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,即b²-4ac＞0,而此时N的判别式Δ=b²-4ac＞0,故它也有两个不相等的实数根;B中,M的两根符号相同:即x₁·x₂=c/a＞0,而N的两根之积a/c＞0,故N的两个根也是同号的;C中,如果5是M的一个根,则有25a+5b+c=0①,我们只需要考虑将1/5代入N方程看是否成立,代入得1/25c+1/5b+a=0②,比较①与②,可知②式是由①式两边同时除以25得到,故②式成立;D中,方程M与方程N相减,可得(a-c)x²=(a-c),
∴x²=1,即x=±1,故可知,它们如果有相同的根可能是1或-1.故答案为D.
13. 如果$(m + 3)x^{2} - mx + 1 = 0$是一元二次方程,则$m$的取值范围是
m≠-3
.
答案：
m≠-3
14. 某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为
20%
.
答案：
20%
15. 如图,在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建小道(图中阴影部分),其中$AB = CD = EF = GH = x$m,每段小道的两边缘平行,剩余的地方种植花草,要使种植花草的面积为$864m^{2}$,那么$x = $
2
.
答案：
2 点拨:种植花草部分可合成长为(40-2x)m,宽为(26-x)m的矩形,依题意,得(40-2x)(26-x)=864,整理得x²-46x+88=0,解得x₁=2,x₂=44(不合题意,舍去).
16. 关于$x的方程kx^{2} - 4x - \frac{2}{3} = 0$有实数根,则$k$的取值范围是
k≥-6
.
答案：
k≥-6
17. 已知$x = 1是一元二次方程x^{2} + mx + n = 0$的一个根,则$m^{2} + 2mn + n^{2}$的值为
1
.
答案：
1
18. 现定义运算“★”,对于任意实数$a$、$b$,都有$a★b = a^{2} - 3a + b$,如：$3★5 = 3^{2} - 3×3 + 5$,若$x★2 = 6$,则实数$x$的值是
-1或4
.
答案：
-1或4
19. (8分)用适当方法解下列方程：
(1)$x^{2} - 6x - 4 = 0$；
(2)$x^{2} - 1 = 2(x + 1)$；
(3)$2x^{2} - 5x - 7 = 0$；
(4)$(3x - 1)(2x + 4) = 1$.
(1)$x^{2} - 6x - 4 = 0$；
(2)$x^{2} - 1 = 2(x + 1)$；
(3)$2x^{2} - 5x - 7 = 0$；
(4)$(3x - 1)(2x + 4) = 1$.
答案：
$(1)$ 用配方法解方程$x^{2}-6x - 4 = 0$
解：
$x^{2}-6x=4$
$x^{2}-6x + 9 = 4 + 9$（在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-6}{2})^2 = 9$）
$(x - 3)^{2}=13$
$x - 3=\pm\sqrt{13}$
$x = 3\pm\sqrt{13}$
所以$x_{1}=3+\sqrt{13}$，$x_{2}=3-\sqrt{13}$。
$(2)$ 用因式分解法解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
由平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，原方程可化为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$
移项得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$
提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$
则$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
$(3)$ 用因式分解法解方程$2x^{2}-5x - 7 = 0$
解：
对$2x^{2}-5x - 7$进行因式分解，$2x^{2}-5x - 7=(2x - 7)(x + 1)=0$
则$2x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-1$。
$(4)$ 先将方程$(3x - 1)(2x + 4)=1$化为一般形式，再用求根公式法求解
解：
先展开括号得$6x^{2}+12x - 2x - 4 = 1$
整理得$6x^{2}+10x - 5 = 0$
其中$a = 6$，$b = 10$，$c=-5$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(10)^{2}-4×6×(-5)=100 + 120 = 220$
$x=\frac{-10\pm\sqrt{220}}{2×6}=\frac{-10\pm2\sqrt{55}}{12}=\frac{-5\pm\sqrt{55}}{6}$
所以$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{55}}{6}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{55}}{6}$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=3+\sqrt{13}$，$x_{2}=3-\sqrt{13}$；$(2)x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；$(3)x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-1$；$(4)x_{1}=\frac{-5+\sqrt{55}}{6}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{55}}{6}$。
解：
$x^{2}-6x=4$
$x^{2}-6x + 9 = 4 + 9$（在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-6}{2})^2 = 9$）
$(x - 3)^{2}=13$
$x - 3=\pm\sqrt{13}$
$x = 3\pm\sqrt{13}$
所以$x_{1}=3+\sqrt{13}$，$x_{2}=3-\sqrt{13}$。
$(2)$ 用因式分解法解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
由平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，原方程可化为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$
移项得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$
提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$
则$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
$(3)$ 用因式分解法解方程$2x^{2}-5x - 7 = 0$
解：
对$2x^{2}-5x - 7$进行因式分解，$2x^{2}-5x - 7=(2x - 7)(x + 1)=0$
则$2x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-1$。
$(4)$ 先将方程$(3x - 1)(2x + 4)=1$化为一般形式，再用求根公式法求解
解：
先展开括号得$6x^{2}+12x - 2x - 4 = 1$
整理得$6x^{2}+10x - 5 = 0$
其中$a = 6$，$b = 10$，$c=-5$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(10)^{2}-4×6×(-5)=100 + 120 = 220$
$x=\frac{-10\pm\sqrt{220}}{2×6}=\frac{-10\pm2\sqrt{55}}{12}=\frac{-5\pm\sqrt{55}}{6}$
所以$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{55}}{6}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{55}}{6}$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=3+\sqrt{13}$，$x_{2}=3-\sqrt{13}$；$(2)x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；$(3)x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-1$；$(4)x_{1}=\frac{-5+\sqrt{55}}{6}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{55}}{6}$。
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