《2025年名校课堂八年级数学上册冀教版河北专版》

11. 计算：$2\sqrt{3} ÷ \sqrt{5} × \frac{1}{\sqrt{5}}$。

答案： 11.解:原式$=2\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$.

12. (2023·河北)若$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{7}$，则$\sqrt{\frac{14a^2}{b^2}} =$(A)

A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 12.A

13. (教材P108“大家谈谈”变式)(2024·邯郸丛台区月考)下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是(C)
小明：$\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{3 × 3 × 2} = \sqrt{3^2 × 2} = 3\sqrt{2}$；
小亮：$2\sqrt{5} × \sqrt{10} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5 × 2} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5} × \sqrt{2} = 2(\sqrt{5})^2 × \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$。

A.只有小明的做法正确
B.两人的做法都不正确
C.小明在计算时用到了$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a \geq 0, b \geq 0)$
D.小亮在计算时用到了$\sqrt{a^2} = a(a \geq 0)$

答案： 13.C

14. 不等式$2\sqrt{2}x - \sqrt{6} ＞ 0$的解集是$x＞\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： 14.$x＞\frac{\sqrt{3}}{2}$

15. 对于任意两个和为正数的实数$a, b$，定义运算※如下：$a※b = \frac{a - b}{\sqrt{a + b}}$，例如$3※1 = \frac{3 - 1}{\sqrt{3 + 1}} = 1$，那么$8※12 =$$-\frac{2}{5}\sqrt{5}$。

答案： 15.$-\frac{2}{5}\sqrt{5}$

16. 计算：
(1)$-\sqrt{0.27} × 2\sqrt{500}$；
(2)$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{8}$；
(3)$-\sqrt{1\frac{3}{5}} × 2\sqrt{3} × (-\frac{3}{2}\sqrt{10})$；
(4)$\frac{2}{3}\sqrt{15} ÷ (-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{5}}) ÷ 3\sqrt{\frac{3}{2}}$。

答案： 16.解:
(1)原式$=-2\sqrt{0.27×500}=-2\sqrt{135}=-2\sqrt{3^{2}×15}=-6\sqrt{15}$.
(2)原式$=(2×3÷2)\sqrt{3×2÷8}=3\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$.
(3)原式$=(-1)×2×(-\frac{3}{2})×\sqrt{\frac{8}{5}×3×10}=12\sqrt{3}$.
(4)原式$=-(\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3})\sqrt{15×5×\frac{2}{3}}=-\frac{4\sqrt{50}}{27}=-\frac{20\sqrt{2}}{27}$.

17. 先化简，再求值：$\frac{x^2y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2} \cdot (\frac{4xy}{x - 2y} + x)$，其中$x = \sqrt{\frac{8}{3}}, y = \sqrt{6}$。

答案： 17.解:原式$=\frac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^{2}}\cdot\frac{x(x+2y)}{x-2y}=xy$.当$x=\sqrt{\frac{8}{3}},y=\sqrt{6}$时,原式$=\sqrt{\frac{8}{3}}×\sqrt{6}=\sqrt{16}=4$.

18. (教材P109习题T4变式)(2024·石家庄栾城区期末)团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意。某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米。为了提升团扇的耐用性和美观性，需对扇面边缘用缎带进行包边处理(如图所示)。
(1)圆形团扇的半径为$\frac{10\sqrt{3\pi}}{\pi}$厘米，正方形团扇的边长为$10\sqrt{3}$厘米。
(2)请通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短。

答案： 18.解:
(1)$\frac{10\sqrt{3\pi}}{\pi}$ $10\sqrt{3}$
(2)
∵圆形团扇的半径为$\frac{10\sqrt{3\pi}}{\pi}$厘米,
∴圆形团扇的周长为$2\pi×\frac{10\sqrt{3\pi}}{\pi}=20\sqrt{3\pi}$(厘米).
∵正方形团扇的边长为$10\sqrt{3}$厘米,
∴正方形团扇的周长为$10\sqrt{3}×4=40\sqrt{3}$(厘米).
∵$40\sqrt{3}=20×\sqrt{3×2^{2}}=20\sqrt{12},3＜\pi＜4$,
∴$20\sqrt{3\pi}＜40\sqrt{3}$.
∴圆形团扇所用的包边长度更短.