《2025年名校课堂八年级数学上册冀教版河北专版》

10. （教材P165例2变式）如图，已知线段$c$，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段$c$。（保留作图痕迹，不必写作法）
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答案： 作图步骤如下：
1. 作线段 $ AB = c $；
2. 分别以 $ A $、$ B $ 为圆心，大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交 $ AB $ 于点 $ O $（$ O $ 为 $ AB $ 中点）；
3. 以 $ O $ 为圆心，$ OA $ 长为半径画弧，交 $ AB $ 的垂直平分线于点 $ C $；
4. 连接 $ AC $、$ BC $。
$\triangle ABC$ 即为所求等腰直角三角形，斜边 $ AB = c $。
（注：作图痕迹包含所有画弧痕迹、垂直平分线及线段 $ AC $、$ BC $）

11. 如图，$\angle AOB=40^{\circ}$，$OC$平分$\angle AOB$。如果射线$OA$上的点$E$满足$\triangle OCE$是等腰三角形，那么$\angle OEC$的度数为140°或80°或20°。

答案： 140°或80°或20°

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=6$，点$M$在$BC$上，$ME// AC$，交$AB$于点$E$，$MF// AB$，交$AC$于点$F$，则四边形$MEAF$的周长是(D)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： D

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=3$，$BC=5$，$\angle B=60^{\circ}$，将$\triangle ABC$沿射线$BC$方向平移$2$个单位长度，得到$\triangle A'B'C'$，连接$A'C$，则$\triangle A'B'C$的周长为9。

答案： 9

14. 如图，点$D$在等边三角形$ABC$的外部，$E$为边$BC$上的一点，$AD=CD$，$DE$交$AC$于点$F$，$AB// DE$。
（1）判断$\triangle CEF$的形状，并说明理由。
（2）若$BC=10$，$CF=4$，求$DE$的长。
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答案：
(1)$△CEF$是等边三角形.理由:$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ABC=∠ACB=∠BAC.\because AB// DE,\therefore ∠CEF=∠ABC,∠CFE$$=∠CAB.\therefore ∠CEF=∠CFE=∠ECF.\therefore △CEF$是等边三角形.
(2)连接 BD.$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC.\because AD=CD,$$\therefore BD$是线段 AC 的垂直平分线.$\therefore BD$平分$∠ABC,\therefore ∠ABD=$$∠CBD.\because AB// DE,\therefore ∠ABD=∠BDE.\therefore ∠BDE=∠CBD.\therefore BE=$$DE.\therefore BC=BE+EC=DE+CF.\therefore DE=BC-CF=10-4=6.$

15. 如图，$\angle AOB=120^{\circ}$，$OP$平分$\angle AOB$，且$OP=2$。若点$M$，$N$分别在$OA$，$OB$上，且$\triangle PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$\triangle PMN$有(D)

A.1个
B.2个
C.3个
D.3个以上
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答案： D

微专题8 模型应用：角平分线+平行线→等腰三角形
【方法指导】常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下四种：



(1)如图1，$AE// BC$，$AE$平分$\angle DAC$，则$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)如图2，$BC$平分$\angle ABD$，$AC// BD$，$AC=3$，则$AB=$3。
(3)如图3，在$\triangle ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，$ED// BC$。已知$AB=7$，$AD=3$，则$\triangle AED$的周长为10。

答案： 等腰
3
10

(4)(2024·石家庄栾城区期末)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=5$，$AC=7$，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作$BC$的平行线交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，则$\triangle AMN$的周长为12。
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答案： 12