《2025年暑假训练营学年总复习八年级数学北师大版希望出版社》

【例1】等腰三角形一腰上的中线将其周长分为15 cm和18 cm两部分,求它的腰长和底边长.
【思路分析】设其腰长为2x cm,底边长为y cm,则15 cm可能是一腰长与另一腰长的一半的和,也可能是底边长与一腰长的一半的和,共两种情况.
【解答】
【方法规律总结】方程思想是数学学习中的一种重要思想,它是通过设未知数,利用题意来设法建立方程(组)再求解.求出三角形的边长后,必须用三角形三边关系来检验,决定取舍.

答案： 解：设腰长为 $2x$ cm，底边长为 $y$ cm。由题意得
① $\begin{cases}x + 2x = 15,\\x + y = 18\end{cases}$ 或② $\begin{cases}x + 2x = 18,\\x + y = 15.\end{cases}$ 解①得 $\begin{cases}x = 5,\\y = 13.\end{cases}$ 由于以 $10$，$10$，$13$ 为边长能构成三角形，所以腰长为 $10$ cm，底边长为 $13$ cm 符合题意。解②得 $\begin{cases}x = 6,\\y = 9.\end{cases}$ 由于以 $12$，$12$，$9$ 为边长能构成三角形，所以腰长为 $12$ cm，底边长为 $9$ cm 符合题意。综上所述，腰长、底边长分别为 $10$ cm，$13$ cm 或 $12$ cm，$9$ cm。

【变式练习1】已知等腰三角形的周长为24 cm,其中两边之差为3 cm,求等腰三角形的腰长和底边长.
【解答】

答案： 解：设等腰三角形的腰长为 $x$ cm，底边长为 $y$ cm。由题意得 $\begin{cases}2x + y = 24,\\x - y = 3,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x + y = 24,\\y - x = 3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 9,\\y = 6,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 7,\\y = 10.\end{cases}$ $\because$ 以 $9$，$9$，$6$ 和 $7$，$7$，$10$ 为边长都能构成三角形，$\therefore$ 等腰三角形的腰长和底边长分别为 $9$ cm，$6$ cm 或 $7$ cm，$10$ cm。

【例2】如图,在△ABC中,AB= 5,BC= $\frac{14}{3}$,AC= $\frac{13}{3}$,则$S_{△ABC}$= $\frac{28}{3}$.

【思路分析】已知三边长,只需求出其中一边上的高即可求面积,因此可过点A作AD⊥BC于点D.根据勾股定理,求出AD的长,从而得到△ABC的面积.
【解答】
【方法规律总结】当题目中无垂直条件时,一般要作垂线构造直角三角形,利用勾股定理建立方程求解.

答案： $\frac{28}{3}$