《2025年暑假训练营学年总复习八年级数学北师大版希望出版社》

14. 若 $ x^{2} + 2(m - 3)x + 16 $ 是关于 $ x $ 的完全平方式,则 $ m = $7 或 $ -1 $。

答案： 7 或 $ -1 $

15. 如图,由一个边长为 $ a $ 的正方形与两个长、宽分别为 $ a $,$ b $ 的小长方形拼接成一个大长方形 $ ABCD $,利用大长方形 $ ABCD $ 面积的不同求法,写出一个有关多项式的因式分解的等式：______。

15. 如图,由一个边长为 $ a $ 的正方形与两个长、宽分别为 $ a $,$ b $ 的小长方形拼接成一个大长方形 $ ABCD $,利用大长方形 $ ABCD $ 面积的不同求法,写出一个有关多项式的因式分解的等式：$ a^2 + 2ab = a(a + 2b) $。

答案： $ a^2 + 2ab = a(a + 2b) $

16. 在日常生活中,存款、上网等都需要有密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是：如对于多项式 $ x^{4} - y^{4} $,因式分解的结果是 $ (x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2}) $,若取 $ x = 9 $,$ y = 9 $,则各个因式的值是 $ x - y = 0 $,$ x + y = 18 $,$ x^{2} + y^{2} = 162 $,于是就可以把 018162 作为一个六位数的密码。对于多项式 $ 4x^{3} - xy^{2} $,取 $ x = 10 $,$ y = 10 $ 时,用上述方法产生的密码是______103010(写出一个即可)。

答案： 103010

17. (10分)把下列各式因式分解：
(1)$ a^{2} - 4b^{2} $；
(2)$ 16(a - b)^{2} - 25(a + b)^{2} $；
(3)$ (x - 2)^{2} - 14(x - 2) + 49 $；
(4)$ (x + y)^{2} - 4(x + y - 1) $；
(5)$ 9 - 6(a + b) + (a + b)^{2} $。

答案： 解：
(1) 原式 $ = a^2 - (2b)^2 = (a + 2b)(a - 2b) $。
(2) 原式 $ = [4(a - b)]^2 - [5(a + b)]^2 = [4(a - b) + 5(a + b)][4(a - b) - 5(a + b)] = (4a - 4b + 5a + 5b)(4a - 4b - 5a - 5b) = (9a + b)(-a - 9b) = -(9a + b)(a + 9b) $。
(3) 原式 $ = (x - 2 - 7)^2 = (x - 9)^2 $。
(4) 原式 $ = (x + y)^2 - 4(x + y) + 4 = (x + y - 2)^2 $。
(5) 原式 $ = [3 - (a + b)]^2 = (3 - a - b)^2 $。

18. (6分)利用因式分解进行简便计算：
(1)$ 76×20.18 + 43×20.18 - 19×20.18 $；
(2)$ 535^{2}×4 - 465^{2}×4 $；
(3)$ 202^{2} + 202×196 + 98^{2} $。

答案： 解：
(1) 原式 $ = 20.18×(76 + 43 - 19) = 20.18×100 = 2018 $。
(2) 原式 $ = 4×(535^2 - 465^2) = 4×(535 + 465)×(535 - 465) = 4×1000×70 = 280000 $。
(3) 原式 $ = 202^2 + 2×202×98 + 98^2 = (202 + 98)^2 = 300^2 = 90000 $。

19. (5分)给出三个多项式：$ \frac{1}{2}x^{2} + 2x - 1 $,$ \frac{1}{2}x^{2} + 4x + 1 $,$ \frac{1}{2}x^{2} - 2x $。请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解。

答案： 解：本题是开放性题目，答案不唯一。
(1) $ (\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1) + (\frac{1}{2}x^2 + 4x + 1) = x^2 + 6x = x(x + 6) $。
(2) $ (\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1) + (\frac{1}{2}x^2 - 2x) = x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $。
(3) $ (\frac{1}{2}x^2 + 4x + 1) + (\frac{1}{2}x^2 - 2x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $。

20. (5分)已知 $ a - 2b = \frac{1}{3} $,$ ab = 3 $,求 $ -a^{4}b^{2} + 4a^{3}b^{3} - 4a^{2}b^{4} $ 的值。
解：$ -a^4b^2 + 4a^3b^3 - 4a^2b^4 = -a^2b^2(a^2 - 4ab + 4b^2) = -(ab)^2·(a - 2b)^2 $。当 $ a - 2b = \frac{1}{3} $，$ ab = 3 $ 时，原式 $ = $$-3^2×(\frac{1}{3})^2 = -1$。

答案： 解：$ -a^4b^2 + 4a^3b^3 - 4a^2b^4 = -a^2b^2(a^2 - 4ab + 4b^2) = -(ab)^2·(a - 2b)^2 $。当 $ a - 2b = \frac{1}{3} $，$ ab = 3 $ 时，原式 $ = -3^2×(\frac{1}{3})^2 = -1 $。