《2025年暑假训练营学年总复习八年级数学北师大版希望出版社》

21. (8分)已知实数a满足$a^{2}+4a-8= 0$,求$\frac {1}{a+1}-\frac {a+3}{a^{2}-1}\cdot \frac {a^{2}-2a+1}{a^{2}+6a+9}$的值.

答案： 21. 解：原式 $ = \frac { 1 } { a + 1 } - \frac { a + 3 } { ( a + 1 ) ( a - 1 ) } \cdot \frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } } { ( a + 3 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { a + 1 } - \frac { a - 1 } { ( a + 1 ) ( a + 3 ) } = \frac { 4 } { ( a + 1 ) ( a + 3 ) } = \frac { 4 } { a ^ { 2 } + 4 a + 3 } $。由 $ a ^ { 2 } + 4 a - 8 = 0 $ 得 $ a ^ { 2 } + 4 a = 8 $，故 $ \frac { 4 } { a ^ { 2 } + 4 a + 3 } = \frac { 4 } { 11 } $。

22. (8分)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1462 km,是我国最繁忙的铁路干线之一. 如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍,且客车比货车少用6 h,那么货车的速度是多少？(结果精确到0.1 km/h)

答案： 22. 解：设货车的速度为 $ x \mathrm { km } / \mathrm { h } $，则客车的速度为 $ 2 x \mathrm { km } / \mathrm { h } $。由题意，得 $ \frac { 1462 } { x } - \frac { 1462 } { 2 x } = 6 $，解得 $ x = \frac { 731 } { 6 } $。经检验，$ x = \frac { 731 } { 6 } $ 是该分式方程的根。$ \frac { 731 } { 6 } \mathrm { km } / \mathrm { h } \approx 121.8 \mathrm { km } / \mathrm { h } $。答：货车的速度是 $ 121.8 \mathrm { km } / \mathrm { h } $。

23. (10分)某市场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元. 已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元. 销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定：甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变. 要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

答案： 23. 解：
(1) 设甲种商品的每件进价为 $ x $ 元，则乙种商品的每件进价为 $ ( x + 8 ) $ 元。根据题意，得 $ \frac { 2000 } { x } = \frac { 2400 } { x + 8 } $，解得 $ x = 40 $。经检验，$ x = 40 $ 是该方程的根，且符合题意。所以 $ 40 + 8 = 48 $（元）。答：甲种商品的每件进价为 $ 40 $ 元，乙种商品的每件进价为 $ 48 $ 元。
(2) 设甲种商品按原销售单价销售了 $ a $ 件，由
(1) 可得，购进的甲、乙两种商品的件数都为 $ 50 $ 件。根据题意，得 $ ( 60 - 40 ) a + ( 60 × 0.7 - 40 ) ( 50 - a ) + ( 88 - 48 ) × 50 \geq 2460 $，解得 $ a \geq 20 $。答：要使两种商品全部售完后共获利不少于 $ 2460 $ 元，甲种商品按原销售单价至少销售 $ 20 $ 件。