《2025年暑假训练营学年总复习八年级数学北师大版希望出版社》

19. (9分)如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC。
(1) 求证：$OE= OF$；
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore O D = O B $，$ D C // A B $，$ \therefore \angle F D O = \angle E B O $。在 $ \triangle D F O $ 和 $ \triangle B E O $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle F D O = \angle E B O, } \\ { O D = O B, } \\ { \angle F O D = \angle E O B, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle D F O \cong \triangle B E O ( A S A ) $。$ \therefore O E = O F $。
(2) 若$EF\perp AC$,$\triangle BEC$的周长是10,求$□ ABCD$的周长。
解：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $，$ A D = B C $，$ O A = O C $。$ \because E F \perp A C $，$ \therefore A E = C E $。$ \because \triangle B E C $ 的周长是 10，$ \therefore B C + B E + C E = B C + B E + A E = B C + A B = 10 $。$ \therefore □ A B C D $ 的周长 $ = 2 ( B C + A B ) = 20 $。

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore O D = O B $，$ D C // A B $，$ \therefore \angle F D O = \angle E B O $。在 $ \triangle D F O $ 和 $ \triangle B E O $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle F D O = \angle E B O, } \\ { O D = O B, } \\ { \angle F O D = \angle E O B, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle D F O \cong \triangle B E O ( A S A ) $。$ \therefore O E = O F $。
(2) 解：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $，$ A D = B C $，$ O A = O C $。$ \because E F \perp A C $，$ \therefore A E = C E $。$ \because \triangle B E C $ 的周长是 10，$ \therefore B C + B E + C E = B C + B E + A E = B C + A B = 10 $。$ \therefore □ A B C D $ 的周长 $ = 2 ( B C + A B ) = 20 $。

20. (7分)如图,在平行四边形ABCD中,G,H分别是AD,BC的中点,E,F是对角线上的两点,且$AE\perp BD$,$CF\perp BD$,垂足分别为E,F。求证：四边形GEHF是平行四边形。

答案：
证明：如图，连接 $ G H $ 交 $ B D $ 于点 $ O $。$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $，$ A B // C D $。$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $。$ \because G $，$ H $ 分别是 $ A D $，$ B C $ 的中点，$ \therefore G H // A B // C D $，$ \therefore G O = \frac { 1 } { 2 } A B $，$ H O = \frac { 1 } { 2 } C D $，$ O B = O D $，$ \therefore G O = H O $。又 $ \because A E \perp B D $，$ C F \perp B D $，$ \therefore \angle A E B = \angle C F D = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A B E $ 和 $ \triangle C F D $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A E B = \angle C F D, } \\ { \angle 1 = \angle 2, } \\ { A B = C D, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F ( A A S ) $。$ \therefore B E = D F $。$ \therefore O B - B E = O D - D F $，即 $ O E = O F $。又 $ \because O H = O G $，$ \therefore $ 四边形 $ G E H F $ 是平行四边形。

21. (12分)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,$BF= BE$,连接EC并延长,使$CG= CE$,连接FG。H为FG的中点,连接DH。
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
证明：$ \because BF = BE $，$ CG = CE $，$ \therefore BC $ 为 $ \triangle FEG $ 的中位线。$ \therefore BC // FG $，$ BC = \frac { 1 } { 2 } FG $。又 $ \because H $ 是 $ FG $ 的中点，$ \therefore FH = \frac { 1 } { 2 } FG $。$ \therefore BC = FH $。又 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AD // BC $，$ AD = BC $。$ \therefore AD // FH $，$ AD = FH $。$ \therefore $ 四边形 $ AFHD $ 是平行四边形。
(2)若$CB= CE$,$\angle EBC= 75^{\circ}$,$\angle DCE= 10^{\circ}$,求$\angle DAB$的度数。
解：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore \angle DAB = \angle DCB $。$ \because CE = CB $，$ \therefore \angle BEC = \angle EBC = 75 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle BCE = 180 ^ { \circ } - 75 ^ { \circ } - 75 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle DCB = \angle DCE + \angle BCE = 10 ^ { \circ } + 30 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle DAB = $$40 ^ { \circ }$。

答案：
(1) 证明：$ \because B F = B E $，$ C G = C E $，$ \therefore B C $ 为 $ \triangle F E G $ 的中位线。$ \therefore B C // F G $，$ B C = \frac { 1 } { 2 } F G $。又 $ \because H $ 是 $ F G $ 的中点，$ \therefore F H = \frac { 1 } { 2 } F G $。$ \therefore B C = F H $。又 $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A D // B C $，$ A D = B C $。$ \therefore A D // F H $，$ A D = F H $。$ \therefore $ 四边形 $ A F H D $ 是平行四边形。
(2) 解：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore \angle D A B = \angle D C B $。$ \because C E = C B $，$ \therefore \angle B E C = \angle E B C = 75 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle B C E = 180 ^ { \circ } - 75 ^ { \circ } - 75 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle D C B = \angle D C E + \angle B C E = 10 ^ { \circ } + 30 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle D A B = 40 ^ { \circ } $。

22. (12分)如图,在平行四边形ABCD中,$DE\perp AC$,$BF\perp AC$,垂足分别为E,F。
(1) 求证：四边形BEDF是平行四边形；
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $，$ A B // C D $。$ \therefore \angle B A F = \angle D C E $。$ \because D E \perp A C $，$ B F \perp A C $，$ \therefore B F // D E $，$ \angle A F B = \angle C E D = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A B F $ 和 $ \triangle C D E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B A F = \angle D C E, } \\ { \angle A F B = \angle C E D, } \\ { A B = C D, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B F \cong \triangle C D E ( A A S ) $。$ \therefore B F = D E $。又 $ \because B F // D E $，$ \therefore $ 四边形 $ B E D F $ 是平行四边形。
(2) 若$AB= 13$,$AD= 20$,$DE= 12$,求$□ BEDF$的面积。
解：$ \because A B = 13 $，$ \therefore C D = 13 $，$ \therefore E C = \sqrt { C D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = \sqrt { 13 ^ { 2 } - 12 ^ { 2 } } = 5 $。$ \therefore A F = E C = 5 $。$ \because A E = \sqrt { A D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = \sqrt { 20 ^ { 2 } - 12 ^ { 2 } } = 16 $，$ \therefore E F = A E - A F = 11 $。$ \therefore S _ { □ B E D F } = E F \cdot D E = $$11 × 12 = 132$。

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B = C D $，$ A B // C D $。$ \therefore \angle B A F = \angle D C E $。$ \because D E \perp A C $，$ B F \perp A C $，$ \therefore B F // D E $，$ \angle A F B = \angle C E D = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A B F $ 和 $ \triangle C D E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B A F = \angle D C E, } \\ { \angle A F B = \angle C E D, } \\ { A B = C D, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B F \cong \triangle C D E ( A A S ) $。$ \therefore B F = D E $。又 $ \because B F // D E $，$ \therefore $ 四边形 $ B E D F $ 是平行四边形。
(2) 解：$ \because A B = 13 $，$ \therefore C D = 13 $，$ \therefore E C = \sqrt { C D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = \sqrt { 13 ^ { 2 } - 12 ^ { 2 } } = 5 $。$ \therefore A F = E C = 5 $。$ \because A E = \sqrt { A D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = \sqrt { 20 ^ { 2 } - 12 ^ { 2 } } = 16 $，$ \therefore E F = A E - A F = 11 $。$ \therefore S _ { □ B E D F } = E F \cdot D E = 11 × 12 = 132 $。