《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (本小题 13 分)
2024 沈阳大东区期末新考向·新定义【阅读理解】
定义:在同一平面内,点 A,B 分别在射线 PM,PN 上,过点 A 垂直 PM 的直线与过点 B 垂直 PN 的直线交于点 Q,则我们把∠AQB 称为∠APB 的“边垂角”.
(1)如图 1、图 2,若∠AQB 是∠APB 的“边垂角”,则∠AQB 与∠APB 之间的数量关系是______;
【迁移运用】
(2)如图 3,CD,BE 分别是△ABC 的两条高,两条高交于点 F,根据定义,我们知道∠DBE 是∠DCE 的“边垂角”或∠DCE 是∠DBE 的“边垂角”,则∠DAE 的“边垂角”是______;
【拓展延伸】
(3)如图 4,若∠ACD 是∠ABD 的“边垂角”,且 AB= AC,BD 交 AC 于点 E,点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F,点 C,D,F 在同一条直线上,连接 AF,EF,且∠CAF= 45°,延长 BA,CF 交于点 G.
①求证:△AGC≌△AEB;
②求证:BE= CF+CE.

答案： 解:
(1)∠AQB+∠APB=180°或∠AQB=∠APB
(2)∠DFE
(3)①证明:
∵∠ACD是∠ABD的"边垂角",
∴∠BAE=∠BDC=90°,∠B=∠C.
∴∠CAG=180° - ∠BAE=180° - 90°=90°=∠BAE.
在△AGC和△AEB中,{∠C=∠B,AC=AB,∠CAG=∠BAE}
∴△AGC≌△AEB(ASA).
②证明:
∵△AGC≌△AEB,
∴AG=AE,CG=BE.
∵∠FAC=45°,
∴∠GAF=∠CAG - ∠FAC=90° - 45°=45°=∠FAC.
在△AGF和△AEF中,{AG=AE,∠GAF=∠EAF,AF=AF}
∴△AGF≌△AEF(SAS).
∴GF=EF.
∵点C关于直线BD的对称点为点F,
∴BD垂直平分线段CF.
∴CE=EF=GF.
∴BE=CG=CF+GF=CF+CE.