《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 教材变式 已知,在直线l的同侧有A,B两点.
(1)如图1,在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小;
(2)如图2,在直线l上找一点Q,使QA-QB的值最大.

答案：
解:
(1)如图1,作点B关于直线L的对称点B',连接AB'交直线L于点P,连接BP,则点P即为所求.此时PA + PB的值最小.
　　　 　　　
(2)如图2,连接AB并延长，交直线L于点Q,则点Q即为所求.此时QA - QB的值最大.

2. 教材变式 如图,小明与小刚在操场上画了两条直线l和m,二人约定比赛,先从A地跑到直线m上,再跑到直线l上,最后返回到B地,用时最短者获胜.请你为二人设计跑步的最优路线,在图中画出.

答案：
解:如图，分别作点A关于mの对称点A'，点B 关于l的对称点B',连接A'B',分别交m,l于点C,D,则A→C→D→B为跑步的最优路线.
　　　　　　　

3. 教材变式 如图,村庄A,B位于一条小河的两侧,若河岸a,b互相平行,现在要建一座与河岸垂直的桥CD(点C,D分别在河岸a,b上,且桥CD要与河岸垂直),那么桥造在何处才能使A村到B村的路程最近?

答案：
解:如图,①过点A作AP⊥a,并在AP的延长线上取一点A',使AA'的长等于河的宽度;②连接A'B交b于点D;③过点D作DC//AA'交a于点C;④连接AC.桥造在此时的CD处才能使A村到B村的路程最近.
　　　

4. 教材变式 有一条笔直的河l,牧马人从P地出发,到河边M处饮马,然后到Q地,现有如下四种方案,其中可使牧马人所走路径最短的是 ( )

答案： D

5. 教材变式 河流的两岸a与b互相平行,其两侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建一座桥MN(桥与河岸垂直),使两个村庄之间的距离最小,从作图痕迹看,正确的是 ( )

答案： D