《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,CD平分$∠ACB$交AB于点D,过点D作DE$//$BC交AC于点E,$∠A= 54^{\circ}$,$∠B= 48^{\circ}$,求$∠CDE$的度数。

答案： 解:
∵∠A=54°,∠B=48°,
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−54°−48°=78°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×78°=39°.
∵DE//BC,
∴∠CDE=∠BCD=39°.

2. 如图,E为$\triangle ABC的外角∠DAC$的平分线上一点,AE$//$BC,F为BC上一点,BF= AE。
(1)求证：$\triangle ABC$是等腰三角形；
(2)连接AF,CE,求证：AF= CE。

答案： 证明:
(1)
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB.
∵AE平分∠CAD,
∴∠DAE=∠CAE.
∴∠B=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)由
(1),知∠B=∠ACB=∠EAC.
　在△ABF和△CAE中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠EAC, \\ BF=AE, \end{cases}$
∴△ABF≌△CAE(SAS).
∴AF=CE.

3. 改编如图,在$\triangle ABC$中,AB= AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,连接DE交BC于点F,其中BD≠BF,若BD= CE,求证：DF= EF。

答案：
证明:如图,过点D作DG//AC交BC于点G.
∴∠DGB=∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=∠DGB,
∴BD=GD.
∵BD=CE,
∴GD=CE.
∵DG//AC,
∴∠DGF=∠ECF.
　在△DFG和△EFC中,$\begin{cases} ∠DFG=∠EFC, \\ ∠DGF=∠ECF, \\ DG=EC, \end{cases}$
∴△DFG≌△EFC(AAS).
∴DF=EF.
　

4. 如图,已知$\triangle ABC$为等边三角形。点D在CA的延长线上,E为线段BC上一点,连接DE交AB于点Q,若AD= CE,求证：$∠BDC= ∠BQE$。

答案：
证明:如图,过点E作EN//AB交CD于点N.
　
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°.
∵EN//AB,
∴∠BAD=∠DNE,∠ENC=∠BAC=∠C,∠NEC=∠ABC=∠C.
∴NE=CE,NE=CN,即NE=CE=CN.
∵AD=CE,
∴AD=NE=CN.
∴AD+AN=CN+AN,即DN=AC=AB.
　在△BDA和△DEN中,$\begin{cases} AD=NE, \\ ∠DAB=∠END, \\ AB=ND, \end{cases}$
∴△BDA≌△DEN(SAS).
∴∠DBA=∠EDN.
∴∠EDN+∠BDE=∠DBA+∠BDE,即∠BDC=∠BQE.