《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

7. 2024 大连期中如图, $ \triangle ABC $ 是等边三角形, 点 $ D $, $ E $, $ F $ 分别在 $ AB $, $ BC $, $ AC $ 上, $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle DFE = 70^{\circ} $, 则 $ \angle EDF = $____ $ ^{\circ} $.

答案： 50

8. 教材变式如图, 在等边三角形 $ ABC $ 中, 在边 $ BC $ 所在的直线上分别截取 $ BA = BD $, $ CA = CE $, 连接 $ AD $, $ AE $, 则 $ \angle DAE $ 的度数是____.

答案： $120^\circ$

9. 如图, $ \angle AOP = \angle BOP = 15^{\circ} $, $ PC // OA $ 交 $ OB $ 于点 $ C $, $ PD \perp OA $ 于点 $ D $. 若 $ PC = 6 $, 则 $ PD = $____.

答案： 3

10. 新考向·操作性试题如图, 用圆规以直角顶点 $ O $ 为圆心, 适当长为半径作弧交两直角边于 $ A $, $ B $ 两点; 再以点 $ A $ 为圆心, $ OA $ 长为半径作弧, 与前弧相交于点 $ C $, 作射线 $ OC $, 则 $ \angle AOC $ 的度数为 ( )

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的判定和性质来求解$\angle AOC$的度数。
步骤一：连接$AC$，分析$\triangle OAC$的性质
根据题意，用圆规以直角顶点$O$为圆心，适当长为半径作弧交两直角边于$A$，$B$两点，则$OA = OB$；再以点$A$为圆心，$OA$长为半径作弧，与前弧相交于点$C$，所以$OA = AC$。
因为$OA = AC$且$OA = OC$（以$O$为圆心，$OA$为半径作弧得到$C$点），所以$OA = AC = OC$。
根据等边三角形的判定定理：三条边都相等的三角形是等边三角形，可知$\triangle OAC$是等边三角形。
步骤二：根据等边三角形的性质求$\angle AOC$的度数
根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于$60^{\circ}$，因为$\triangle OAC$是等边三角形，所以$\angle AOC = 60^{\circ}$。
【答案】：C

11. 2023 辽阳期中如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 为 $ AB $ 的中点, $ DE \perp AC $ 于点 $ E $, $ DF \perp BC $ 于点 $ F $, $ DE = DF $. 求证: $ \triangle ABC $ 是等边三角形.

答案： 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $\angle B = \angle C$。
∵ $D$ 为 $AB$ 中点，
∴ $AD = BD$。
∵ $DE \perp AC$，$DF \perp BC$，
∴ $\angle AED = \angle BFD = 90^\circ$。
在 $Rt\triangle AED$ 和 $Rt\triangle BFD$ 中，
$\begin{cases} AD = BD \\ DE = DF \end{cases}$，
∴ $Rt\triangle AED \cong Rt\triangle BFD$（HL）。
∴ $\angle A = \angle B$。
∵ $\angle B = \angle C$，
∴ $\angle A = \angle B = \angle C$。
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形。

12. (几何直观) (1) 如图 1, $ \triangle ABC $ 为等边三角形, 点 $ D $, $ F $ 分别在边 $ AC $, $ BC $ 上, 且 $ AD = BF $.
求证: $ \triangle DCF $ 为等边三角形;
(2) 如图 2, $ \triangle ABC $ 为等边三角形, 点 $ D $, $ F $ 分别在边 $ AC $, $ BC $ 上, 点 $ E $ 在 $ BC $ 的延长线上, 且 $ AD = BF + CE $. 探索 $ DF $, $ DE $ 之间的数量关系, 并证明.

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,\n
∴CA=CB,∠C=$60^\circ$.\n
∵AD=BF,\n
∴CA−AD=CB−BF,\n即CD=CF.\n
∴△DCF为等边三角形.\n
(2)DF=DE.\n证明:如图,在BC上截取BK=AD,连接DK.\n由
(1),知△DCK为等边三角形.\n
∴DK=DC,∠DKC=∠DCK=$60^\circ$.\n
∵∠DKF+∠DKC=$180^\circ$,∠DCE+∠DCK=$180^\circ$,\n
∴∠DKF=∠DCE.\n
∵AD=BF+CE,BK=BF+KF,\n
∴KF=CE.\n在△DKF和△DCE中,$\begin{cases} DK=DC, \\ ∠DKF=∠DCE, \\ KF=CE, \end{cases}$\n
∴△DKF≌△DCE(SAS).\n
∴DF=DE.