《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

5. 一题多变如图, 在四边形ABCD中,DE⊥BC,BD平分∠ABC,AB= 4,DE= 3,则△ABD的面积是____.
【变式】5.1如图, 在△ABC中,AB= 9,AE= AC= 3,BC= 7,点D在边BC上,点D到边AB,AC的距离相等,则△BDE的周长是____.
【变式】5.2如图,O为∠ABC和∠ACB的平分线交点,过点O作OD⊥BC于点D,且OD= 4,若△ABC的周长是17,则△ABC的面积为____.

答案： 5.6 5.1.13 5.2.34

6. 教材变式如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,F是OC上另一点,连接DF,EF. 求证:DF= EF.

答案： 证明:
∵OP 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠DOF=∠EOF,∠PDO=∠PEO=90°,PD=PE. 在Rt△OPD 和Rt△OPE 中,OP=OP, PD=PE,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).
∴OD=OE. 在△ODF 和△OEF 中,OD=OE, ∠DOF=∠EOF, OF=OF,
∴△ODF≌△OEF(SAS).
∴DF=EF.

7. 如图, 已知BD为∠ABC的平分线,AB= BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N. 求证:PM= PN.

答案： 证明:
∵BD 为∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=∠CBD. 在△ABD 和△CBD 中,AB=CB, ∠ABD=∠CBD, BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB 是∠ADC 的平分线.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.

8. (几何直观) 如图, 在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD+∠C= 180°. 求证:AD= CD.

答案：
证明:如图,过点 D 作 DE⊥BA,交 BA 的延长线于点 E,DF⊥BC 于点 F.
∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵BD 平分∠ABC,
∴DE=DF.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠C. 在△DAE 和△DCF 中,∠DAE=∠C, ∠DEA=∠DFC, DE=DF,
∴△DAE≌△DCF(AAS).
∴AD=CD.