《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

8. 2023大连期中 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:△ACF为等腰三角形.

答案： 8.证明：
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=72°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×72°=36°.
∴∠BAD=∠ABD.
∴AD=BD.又E是AB的中点，
∴DE⊥AB.
∴FE垂直平分线段AB.
∴AF=BF.
∴∠BAF=∠ABF=72°.
∴∠AFC=180°−∠BAF−∠ABF=180°−72°−72°=36°，∠FAC=∠BAF−∠BAC=72°−36°=36°.
∴∠FAC=∠AFC.
∴AC=FC.
∴△ACF为等腰三角形.

9. 易错点:混淆对称轴 在平面直角坐标系中,点Q(2,3),直线l上点的横坐标均为1,则点Q关于直线l对称的点的坐标是______.

答案： (0，3)

10. 易错点:忽略分类讨论 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则其底角的度数为______.

答案： 65°或25°

11. 2024大连甘井子区期末 如图,点B在直线l上,AB⊥l于点B,AB= 3,点C在直线l上运动,连接AC,以AC为边作等边△ACD(点A,C,D按顺时针方向排列),连接BD,则BD的最小值为______.

答案：
11.$\frac{3}{2}$ 解析：如图，以AB为边在AB的右侧作等边△ABE，连接CE.
∴AB=AE=BE=3，∠ABE=∠BAE=60°.
∵△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°.
∴∠DAC=∠BAE.
∴∠DAC−∠BAC=∠BAE−∠BAC，即∠DAB=∠CAE.在△DAB和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AC,\\ ∠DAB=∠CAE,\\ AB=AE,\end{array}\right.$
∴△DAB≌△CAE(SAS).
∴BD=EC.
∴当CE最小时，BD有最小值.过点E作EF⊥l于点F.
∴当点C与点F重合时，CE有最小值.
∵AB⊥l，
∴∠ABC=90°.在Rt△BEF中，
∵∠EBF=∠ABC−∠ABE=90°−60°=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$.
∴BD的最小值为$\frac{3}{2}$.

12. (1)如图1,已知平面内的3条射线OA,OB,OC,反向延长OA,得到图2,若$∠BOC= 90°-\frac{1}{2}∠AOB,$则∠BOC与∠COD之间的数量关系是______;
(2)将图1中的OB反向延长,得到图3,若$∠BOC= 90°-\frac{1}{2}∠AOB,$请写出图中一对相等的角,并说明理由;

(3)如图4,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在边AC,BC上,连接AE,过点B作BF//AC,交DE的延长线于点F.若$∠AEB= 90°-\frac{1}{2}∠AED,$求证:FB= AC;

(4)如图5,在△ABC中,∠ABC= 45°,D为边BC上一点,连接$AD,∠BAD= 90°-\frac{1}{2}∠CAD.$若AC= 3AD,BC= a,求CD的长.(用含a的代数式表示)

答案：
12.解：
(1)∠BOC=∠COD 解析：
∵∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOB+2∠BOC=180°，即∠AOC+∠BOC=180°.
∵∠AOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=∠COD.
(2)∠AOC=∠COD.理由如下：
∵∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠AOB.
∵∠COD=180°−∠BOC=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠AOB)=90°+$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOC=∠COD.
(3)证明：
∵∠AEB=90°−$\frac{1}{2}$∠AED，
∴2∠AEB+∠AED=180°.
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴∠AEB=∠DEC.
∵∠DEC=∠FEB，
∴∠AEB=∠FEB.
∵AC//BF，AB=AC，
∴∠C=∠FBE，∠C=∠ABE.
∴∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\\ ∠AEB=∠FEB,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FBE(ASA).
∴AB=FB.
∵AB=AC，
∴FB=AC.
(4)如图，延长CA到点E，使AE=AD，连接BE.
∵∠BAD=90°−$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴2∠BAD+∠CAD=180°.
∵∠BAE+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠BAE=∠BAD.在△ABE和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ ∠BAE=∠BAD,\\ AB=AB,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ABD(SAS).
∴S△ABE=S△ABD.
∵AC=3AD，
∴AC=3AE.
∴S△ABC=3S△ABE，即S△ABC=3S△ABD.
∴BC=3BD，即BD=$\frac{1}{3}$BC.
∵BC=a，
∴BD=$\frac{1}{3}$a.
∴CD=BC−BD=a−$\frac{1}{3}$a=$\frac{2}{3}$a.