《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. $\triangle ABC$为等边三角形,点$D$,$E分别在AB和AC$上,$CD$,$BE相交于点F$,$AD= CE$.
(1)如图1,求$\angle BFD$的度数;

(2)如图2,过点$B作BH \perp CD于点H$,求证:$2FH+EF= CD$;

(3)如图3,点$P在线段CD$上,连接$AP$,且$AP= CF$,在图中找出与线段$CP$相等的线段,并证明;

(4)如图4,已知$G为等边\triangle ABC$外一点,连接$BG$,$DG$,且$BG+FD= BF$,$BF= DG$.求$\angle BGD$的度数;

(5)如图5,过点$A作AG // BE$,交$CD的延长线于点G$,求证:$BF= GF$;

(6)如图6,连接$AF$,当$AF \perp BE$时,求$\dfrac{CF}{BF}$的值;

(7)如图7,连接$AF$,当$AF \perp BE$时,$CF= 3\sqrt{5}$,$EF= \sqrt{5}$,求$DF$的长;

(8)如图8,延长$CD至点P$,连接$AP$,$\angle APC= 30^{ \circ }$,且$CF= \dfrac{2}{9}CP$,求$\dfrac{PF}{BF}$的值.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC,∠A=∠BCE=60°.
在△ADC和△CEB中，{AC=CB,∠A=∠BCE,AD=CE}
∴△ADC≌△CEB(SAS).
∴∠ACD=∠CBE.
∴∠BFD=∠CBE+∠FCB=∠ACD+∠FCB=∠BCE=60°.
(2)证明:
∵BH⊥CD,
∴∠BHF=90°.
在Rt△BFH中,
∵∠BFH=60°,
∴∠FBH=90° - ∠BFH=90° - 60°=30°.
∴BF=2FH.
由
(1),知△ADC≌△CEB,
∴CD=BE.
∵BE=BF+EF=2FH+EF,
∴2FH+EF=CD.
(3)CP=BF.
证明:如图1,过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N,过点C作CM⊥BE,交BE的延长线于点M.
∴∠M=∠N=90°.
由
(1),知∠ACD=∠CBE.
在△ACN和△CBM中,{∠N=∠M,∠ACN=∠CBM,AC=CB}
∴△ACN≌△CBM(AAS).
∴AN=CM,CN=BM.
在Rt△APN和Rt△CFM中,{AP=CF,AN=CM}
∴Rt△APN≌Rt△CFM(HL).
∴PN=FM.
∴CN - PN=BM - FM,即CP=BF.
(4)如图2,延长CD到点H,使DH=BG,连接BH.
∵BG+FD=BF,HF=DH+FD,
∴BF=HF.
由
(1),知∠BFH=60°,
∴△BFH为等边三角形.
∴BH=BF,∠H=60°.
∵BF=DG,
∴BH=DG.
在△BDG和△DBH中,{BD=DB,DG=BH,BG=DH}
∴△BDG≌△DBH(SSS).
∴∠BGD=∠H=60°.
(5)证明:如图3,在GC上截取GN=GA,连接AN.
由
(1),知∠BFD=60°.
∵AG//BF,
∴∠G=∠BFD=60°.
又GN=GA,
∴△AGN为等边三角形.
∴GN=AN=GA,∠ANG=60°.
∴∠ANC=180° - ∠ANG=180° - 60°=120°.
∵∠BFD=60°,
∴∠BFC=180° - ∠BFD=180° - 60°=120°=∠ANC.
在△ANC和△CFB中,{∠ANC=∠CFB,∠ACN=∠CBF,AC=CB}
∴△ANC≌△CFB(AAS).
∴AN=CF,CN=BF.
∴GN=CF.
∴GN+NF=CF+NF.
∴GF=CN.
∴BF=GF.
(6)如图4,在BF上截取BH=CF,连接CH.由
(1),知∠ACD=∠CBE.
在△CBH和△ACF中,{BH=CF,∠CBH=∠ACF,BC=CA}
∴△CBH≌△ACF(SAS).
∴∠BCH=∠CAF.
∵∠CHF = ∠CBE+∠BCH,∠AFD = ∠ACD+∠CAF,
∴∠CHF=∠AFD.
∵AF⊥BE,
∴∠BFA=90°.由
(1),知∠BFD=60°.
∴∠AFD=90° - ∠BFD=90° - ∠BFD=90° - 60°=30°.
∴∠CHF=∠AFD=30°.
∴∠HCF=∠BFD - ∠CHF=30°=∠CHF..
∴CF=HF..
又BH=CF,
∴BH=HF.
∴BF=BH+HF=CF+CF=2CF.
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{2}$.
(7)由
(6),知BF=2CF=6$\sqrt{5}$
∴BE=BF+EF=6$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=7$\sqrt{5}$由
(1),知△ADC≌△CEB
∴CD=BE=7$\sqrt{5}$
∴DF=CD - CF=7$\sqrt{5}$ - 3$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$
(8)如图5,在PF上取一点K,使KF=BF,连接AK,BK.
由
(1),知∠BFK=60°.
又BF=KF,
∴△BFK为等边三角形.
∴BF=BK,∠KBF=∠BKF=60°=∠ABC.
∴∠KBF - ∠ABF=∠ABC - ∠ABF,即∠ABK=∠CBF.
在△ABK和△CBF中,{BA=BC,∠ABK=∠CBF,BK=BF}
∴△ABK≌△CBF(SAS).
∴AK=CF,∠BKA=∠BFC=180° - ∠BFK=120°.
∴∠AKD=∠BKA - ∠BKF=120° - ∠BKF=120° - 60°=60°.
∵∠APC=30°,
∴∠PAK=∠AKD - ∠APK=∠AKD - ∠APC=60° - 30°=30°=∠APK.
∴KP=KA.
∴KP=CF=CF.
设CP=9a，则CF=$\frac{2}{9}$CP=2a.
∴KP=CF=2a,PF=CP - CF=7a.
∴BF=KF=PF - KP=7a - KP=7a - KP=7a - 7a - KP=7a - KP=7a - 2a=5a.
∴$\frac{PF}{BF}$=$\frac{7a}{5a}$=$\frac{7}{5}$.