《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与外角∠ACN 的平分线相交于点 D,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,连接 AD.若△ABC 的周长为 20,求 BE 的长.

答案：
1.解:如图，过点D作DP⊥BA，交BA的延长线于点P,作DQ⊥AC于点Q,

∵DE⊥BC,DQ⊥AC,DP⊥BA,BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,
∴DP=DE,DQ=DE.
∴DP=DQ.
在Rt△ADQ和Rt△ADP中,{AD = AD,DQ = DP}
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP(HL).
∴AQ=AP.
同理,得Rt△BPD≌Rt△BED,Rt△CDQ≌Rt△CDE.
∴BP=BE,CQ=CE.
∵△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+AQ+CQ=20,
∴AB+BC+AP+CE=BP+BE=20.
∵BP=BE,
∴2BE=20.
∴BE=10.

2. 如图,在四边形 ABCD 中,CB = CD,∠B + ∠D = 180°,求证：AC 平分∠DAB.

答案：
2.证明:如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F.
∴∠CEB=∠F=90°.
∵∠B+∠ADC=180°,∠FDC+∠ADC=180°,
∴∠B=∠FDC.
在△CDF和△CBE中,{∠F = ∠CEB,∠FDC = ∠B,CD = CB}
∴△CDF≌△CBE(AAS).
∴CF=CE.
又CE⊥AB,CF⊥AD,
∴AC平分∠DAB.

3. 在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 90°,D 是线段 BC 上一动点,点 F 在线段 AB 上,且∠FDB = $\frac{1}{2}$∠ACB,BE⊥DF,垂足 E 在 DF 的延长线上.
(1)如图 1,当点 D 与点 C 重合时,线段 BE 和 DF 之间的数量关系是______；
(2)如图 2,当点 D 不与点 B,C 重合时,(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

答案：

(1)BE = $\frac{1}{2}$DF
解析如图1,延长BE,CA相交于点G.
∵∠FDB = $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠ACF = ∠ACB - ∠FDB = $\frac{1}{2}$∠ACB = ∠FDB.
∵BE⊥DF,∠BAC = 90°,
∴∠BEC = 90° = ∠BAC.
∵∠BFE = ∠CFA,
∴90° - ∠BFE = 90° - ∠CFA,即∠EBF = ∠ACF.
∵∠BAC = 90°,
∴∠BAG = 180° - ∠BAC = 90° = ∠CAF.
在△ABG和△ACF中,{∠ABG = ∠ACF,AB = AC,∠BAG = ∠CAF}
∴△ABG≌△ACF(ASA).
∴BG = CF.
∵∠G + ∠ADF = 90°,∠EBC + ∠FDB = 90°,
又∠ACF = ∠FDB,
∴∠G = ∠EBC.
∴CG = CB,又CE⊥BG,
∴BE = EG = $\frac{1}{2}$BG = $\frac{1}{2}$DF.

(2)成立.理由如下:
如图2,过点D作DG//AC，与AB交于点H，与BE的延长线交于点G.
∵BE⊥DF,
∴∠BED = ∠GED = 90°.
∵DG//AC,∠BAC = 90°,
∴∠BDG = ∠ACB,∠BHD = ∠BAC = 90°.
∵∠BDE = $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠GDE = ∠BDG - ∠BDE = ∠ACB - $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠BDE = ∠GDE.
在△DEB和△DEG中,{∠BDE = ∠GDE,DE = DE,∠BED = ∠GED}
∴△DEB≌△DEG(ASA).
∴BE = GE = $\frac{1}{2}$BG.
∵AB = AC,
∴∠ABC = ∠ACB.
∴∠ABC = ∠BDG.
∴HB = HD.
∵∠BED = ∠BHD = 90°,∠BFE = ∠DFH,
∴∠EBF = ∠HDF,即∠HBG = ∠HDF.
在△BGH和△DFH中,{∠HBG = ∠HDF,HB = HD,∠BHG = ∠DHF}
∴△BGH≌△DFH(ASA).
∴BG = DF.
∴BE = $\frac{1}{2}$DF.