《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

16. (本小题6分)
2024沈阳铁西区期中如图,某学校计划利用一片空地为学生建一个长方形车棚,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(阴影部分),其余部分停放自行车,已知长方形车棚的宽为$x$m,长为$(\frac{3}{2}x + 1)$m,小路的宽为2m,求停放自行车的面积。

答案： 16.解:根据题意,得(x-2)($\frac{3}{2}$x+1-2×2)=($\frac{3}{2}$x²-6x+6)(m²).
答:停放自行车的面积为($\frac{3}{2}$x²-6x+6)m².

17. (本小题8分)
在日历上,我们可以发现其中某些数之间满足一定的规律,图1是2024年3月的日历示意图,任意选择图中所示的方框,每个框四个角上的数交叉相乘后求和,再与中间的数的平方的2倍作差,例如：$3× 19 + 5× 17 - 2× 11^{2}= -100$,$14× 30 + 16× 28 - 2× 22^{2}= -100$,不难发现,结果都是$-100$。
(1)如图2,设日历中所示图形中间的数为$x$,则框中其余四个数从小到大依次可以表示为______,______,______,______；
(2)请用含$x$的式子表示发现的规律：______；
(3)利用整式的运算对(2)中的规律加以证明。

答案： 17.解:
(1)x-8;x-6;x+6;x+8
(2)(x+8)(x-8)+(x-6)(x+6)-2x²=-100
(3)证明:左边=x²-64+x²-36-2x²=-100=右边.
∴结论成立.

18. (本小题8分)
新考向·过程性学习【公式背景】
平方差公式可以利用图形来直观描述和解释。如图1,在边长为$a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a ＞ b)$,若用两种不同的方法来表示阴影部分的面积,就能得到公式$(a + b)(a - b)= a^{2}-b^{2}$。
【公式形成】
(1)如图2,用4张大小、形状相同的长方形纸片拼成一个大正方形,已知长方形的长、宽分别为$m$,$n(m ＞ n)$,则$(m + n)^{2}$,$(m - n)^{2}和mn$之间的数量关系为______；
【公式应用】
(2)如图3,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC ＞ AC$。分别以$AC和BC$为边向外作两个正方形,已知$BD = 5$,$\triangle ABC$的面积是2,求$BC$的长。

答案： 18.解:
(1)(m+n)²-(m-n)²=4mn
(2)
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AC=2.
∴BC·AC=4.
∵BD=5,
∴BC+CD=BC+AC=5.
∴(BC-AC)²=(BC+AC)²-4BC·AC=25-16=9.
∵BC＞AC,
∴BC-AC=3.
联立$\begin{cases} BC-AC=3, \\ BC+AC=5. \end{cases}$解得$\begin{cases} BC=4, \\ AC=1. \end{cases}$
∴BC的长为4.

19. (本小题12分)
2024沈阳期中新考向·新定义定义：如果$2^{m}= n(m$,$n$为正数),那么我们把$m叫作n的D$数,记作$m = D(n)$。
(1)根据$D$数的定义,填空：$D(2)= $______,$D(16)= $______；
(2)$D$数有如下运算性质：$D(st)= D(s)+D(t)$,$D(\frac{q}{p})= D(q)-D(p)$,其中$q ＞ p$。
①若$D(a)= 1$,求$D(a^{3})$的值；
②若$D(3)= 2a - b$,$D(5)= a + c$,求$D(15)$,$D(\frac{5}{3})$,$D(108)$,$D(\frac{27}{20})$的值。(用含$a$,$b$,$c$的式子表示)

答案： 19.解:
(1)1;4
解析
∵2¹=2,2⁴=16,
∴D
(2)=1,D
(16)=4.
(2)①
∵2¹=a,
∴a=2.
∴D(a³)=D(2³)=3.
②D
(15)=D(3×5)=D
(3)+D
(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c.
D($\frac{5}{3}$)=D
(5)-D
(3)=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c.
D
(108)=D(3×3×3×2×2)=D
(3)+D
(3)+D
(3)+D
(2)+D
(2)=3×D
(3)+2×D
(2)=3×(2a-b)+2×1=6a-3b+2.
D($\frac{27}{20}$)=D
(27)-D
(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=D
(3)+D
(3)+D
(3)-[D
(5)+D
(2)+D
(2)]=3×D
(3)-[D
(5)+2×D
(2)]=3×(2a-b)-(a+c+2×1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2.