《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 如图,BD平分$\angle ABC$,CD平分$\angle ACB$,BD与CD交于点D,探究$\angle A与\angle D$之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠D=90°+$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,
∴∠DBC=∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB.
设∠DBC=∠DBA=α,∠DCB=∠DCA=β,则∠ABC=2α,∠ACB=2β.
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-(α+β),∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2(α+β).
∴α+β=180°-∠D,2(α+β)=180°-∠A.
∴2(180°-∠D)=180°-∠A.
∴∠D=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,M是BC延长线上一点,BD平分$\angle ABC$,CD平分$\angle ACM$,BD与CD交于点D,探究$\angle A与\angle D$之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠A=2∠D.理由如下:
∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACM,
∴∠ABC=2∠DBC,∠ACM=2∠DCM.
设∠DBC=α,∠DCM=β,则∠ABC=2α,∠ACM=2β.
∴∠A=∠ACM-∠ABC=2β-2α,∠D=∠DCM-∠DBC=β-α.
∴∠A=2∠D.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,BF平分外角$\angle CBP$,CF平分外角$\angle BCQ$,BF与CF交于点F,探究$\angle A与\angle F$之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠A+2∠F=180°.理由如下:
∵BF 平分∠CBP,CF 平分∠BCQ,
∴∠PBC=2∠CBF,∠BCQ=2∠BCF.
设∠CBF=α,∠BCF=β,则∠PBC=2α,∠BCQ=2β.
∵∠PBC=∠A+∠ACB,∠BCQ=∠A+∠ABC,
∴∠PBC+∠BCQ=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°.
∴2α+2β=∠A+180°.
∴α+β=$\frac{1}{2}$(∠A+180°).
∵∠F=180°-∠CBF-∠BCF=180°-(α+β),
∴∠F=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+180°).
∴∠A+2∠F=180°.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线与\angle ACB$的平分线相交于点P,外角$\angle CBM的平分线与外角\angle NCB$的平分线相交于点Q,探究$\angle Q与\angle P$之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠P+∠Q=180°.理由如下:
∵BP 是∠ABC 的平分线,BQ 是∠CBM 的平分线,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠CBM.
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠CBM)=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
同理,得∠PCQ=90°.
∵∠P=180°-∠PBC-∠PCB,∠Q=180°-∠CBQ-∠BCQ,
∴∠P+∠Q=180°-∠PBC-∠PCB+180°-∠CBQ-∠BCQ=360°-(∠PBC+∠PCB+∠CBQ+∠BCQ)=360°-(∠PBQ+∠PCQ)=360°-180°=180°.