《2025年课课帮八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 新考向·操作性试题 观察下列作图痕迹,所作 CD 为△ABC 的边 AB 上的中线是( )

答案： B

2. 新考向·操作性试题 已知△ABC(AC＞BC),用尺规作图的方法在 AB 上确定一点 P,使 PA+PC= AB,则符合要求的作图痕迹是( )

答案： B

3. ◎2024 大连高新园区期中 如图,在△ABC 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧,交 AC 于点 D,连接 BD,再分别以点 B,C 为圆心,大于 $\frac{1}{2}BC$ 的长为半径作弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 AC 于点 E,连接 BE,若∠ABE= α,则∠DBC= ______.(用含α的代数式表示)

答案： $\frac{1}{2}\alpha$　解析：根据题意，得$AD=AB$，$MN$垂直平分线段$BC$。
∴$\angle ABD=\angle ADB$，$EB=EC$。
∴$\angle EBC=\angle C$。　设$\angle EBC=\angle C=x$。
∴$\angle AEB=\angle EBC+\angle C=2x$。
∵$\angle A+\angle ABE+\angle AEB=180^{\circ}$，$\angle ABE=\alpha$，
∴$\angle A=180^{\circ}-2x-\alpha$。
∴$\angle ABD=\angle ADB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-180^{\circ}+2x+\alpha)=x+\frac{1}{2}\alpha$。
∴$\angle DBC=\angle ADB-\angle C=x+\frac{1}{2}\alpha -x=\frac{1}{2}\alpha$。

4. 新考向·操作性试题 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°.
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母.(保留作图痕迹,不写作法)
①作∠B 的平分线 BD,交 AC 于点 D；
②过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E.
(2)猜想线段 DE 与 CD 之间的数量关系是______.

答案：
解:
(1)①如图，射线$BD$即为所求。　②如图，$DE$即为所求。　　　　　　　　 　
(2)$DE=CD$

5. 新考向·操作性试题 如图,已知△ABC(AB＞AC),在∠BAC 内部的点 P 到∠BAC 两边的距离相等,连接 PB,PC,且 PB= PC.
(1)利用尺规作图,确定符合条件的点 P 的位置；(不写作法,保留作图痕迹)
(2)过点 P 作 AC 的垂线,垂足 D 在 AC 的延长线上,求证：AB-AC= 2CD；
(3)当∠BAC= 90°时,判断△PBC 的形状,并证明.

答案：
解:
(1)如图，点$P$即为所求。　　　　　　　　
(2)证明:如图过点$P$作$PE\perp AB$于点$E$。
∵$PD\perp AC$，
∴$\angle PEB=\angle PDC=90^{\circ}$。
∵点$P$在$\angle BAC$的平分线上，
∴$PE=PD$　在$\text{Rt}\triangle PBE$和$\text{Rt}\triangle PCD$中，$\begin{cases} PB=PC, \\ PE=PD, \end{cases}$
∴$\text{Rt}\triangle PBE\cong \text{Rt}\triangle PCD(\text{HL})$。
∴$BE=CD$。　同理得$\text{Rt}\triangle PAE\cong \text{Rt}\triangle PAD$。
∴$AE=AD$。
∵$AB=AE+BE=AD+CD=AC+CD+CD=AC+2CD$，
∴$AB - AC=2CD$。　
(3)$\triangle PBC$是等腰直角三角形。　证明:
∵$\angle BAC=90^{\circ}$，$\angle PEB=90^{\circ}$，
∴$\angle BAC=\angle PEB$。
∴$PE// AD$。
∴$\angle EPD+\angle PDC=180^{\circ}$。
∴$\angle EPD=180^{\circ}-\angle PDC=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
∵$\text{Rt}\triangle PBE\cong \text{Rt}\triangle PCD$，
∴$\angle BPE=\angle CPD$。
∴$\angle EPC+\angle BPE=\angle EPC+\angle CPD$，即$\angle BPC=\angle EPD=90^{\circ}$。　又$PB=PC$，
∴$\triangle PBC$是等腰直角三角形。