《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级人教版》

11. 如图,已知$∠DEB= 100^{\circ }$,$∠BAC= 80^{\circ }$。
(1)判断$DF与AC$的位置关系,并说明理由；$DF// AC$
(2)若$∠ADF= ∠C$,$∠DAC= 120^{\circ }$,求$∠B$的度数。$40^{\circ }$

答案：
(1)$DF// AC$，理由略.
(2)$\angle B = 40^{\circ}$.

12. 如图,点$C在线段AB$上,$∠ACD+∠E= 180^{\circ }$,$CD// BE$,$CF平分∠BCD交DE于点F$。
(1)求证：$DE// AB$；
(2)若$∠ACD= 62^{\circ }$,求$∠DFC$的度数为59°。

答案： 1. （1）证明$DE// AB$：
因为$CD// BE$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle DCE+\angle E = 180^{\circ}$。
又已知$\angle ACD+\angle E = 180^{\circ}$。
所以$\angle ACD=\angle DCE$（同角的补角相等）。
根据内错角相等，两直线平行，可得$DE// AB$。
2. （2）求$\angle DFC$的度数：
已知$\angle ACD = 62^{\circ}$，因为$\angle ACD+\angle BCD=180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle BCD=180^{\circ}-\angle ACD$。
把$\angle ACD = 62^{\circ}$代入可得$\angle BCD=180 - 62=118^{\circ}$。
因为$CF$平分$\angle BCD$，根据角平分线定义，$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，所以$\angle DCF=\frac{1}{2}×118^{\circ}=59^{\circ}$。
由（1）知$DE// AB$，$CD// BE$，$DE// AB$，所以$\angle D=\angle ACD = 62^{\circ}$（内错角相等）。
在$\triangle DCF$中，根据三角形内角和定理$\angle D+\angle DCF+\angle DFC = 180^{\circ}$，则$\angle DFC=180^{\circ}-\angle D-\angle DCF$。
把$\angle D = 62^{\circ}$，$\angle DCF = 59^{\circ}$代入可得$\angle DFC=180 - 62-59 = 59^{\circ}$。
综上，（1）已证$DE// AB$；（2）$\angle DFC$的度数为$59^{\circ}$。

13. 如图,$AB⊥BC$,$∠1+∠2= 90^{\circ }$,$∠2= ∠3$。$BE与DF$平行吗？为什么？
解：$BE// DF$。理由如下：
$\because AB⊥BC$,(已知)
$\therefore ∠ABC= $$90^{\circ}$,
即$∠3+∠4= $$90^{\circ}$。
又$\because ∠1+∠2= 90^{\circ}$,(已知)且$∠2= ∠3$,
$\therefore$$∠1$=$∠4$。(等角的余角相等)
$\therefore BE// DF$。(同位角相等，两直线平行)

答案： 已知 $90^{\circ}$ $90^{\circ}$ 已知 $\angle 1$ $\angle 4$ 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行