《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级人教版》

12. 如图,$O为直线AB$上一点,$∠BOC = 130^{\circ}$,$OD平分∠AOC$,$OD⊥OE$.
(1)求$∠BOD$的度数；155°
(2)试判断$OE是否平分∠BOC$,并说明理由.OE平分∠BOC，理由如下：因为OD⊥OE，所以∠DOE=90°，即∠2+∠3=90°。已知∠2=25°，则∠3=90°-∠2=90°-25°=65°。又因为∠BOC=130°，所以∠4=∠BOC-∠3=130°-65°=65°。由于∠3=∠4=65°，所以OE平分∠BOC。

答案： 1. （1）
因为$O$为直线$AB$上一点，$\angle BOC = 130^{\circ}$，根据平角的定义$\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-\angle BOC$。
把$\angle BOC = 130^{\circ}$代入可得$\angle AOC = 180 - 130=50^{\circ}$。
又因为$OD$平分$\angle AOC$，根据角平分线的定义$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\angle AOC$，所以$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
再根据$\angle BOD=\angle 2 + \angle BOC$（$\angle BOD$可看作$\angle 2$与$\angle BOC$组成），所以$\angle BOD=25^{\circ}+130^{\circ}=155^{\circ}$。
2. （2）
解：$OE$平分$\angle BOC$。
理由如下：
因为$OD\perp OE$，所以$\angle DOE = 90^{\circ}$，即$\angle 2+\angle 3 = 90^{\circ}$。
已知$\angle 2 = 25^{\circ}$，则$\angle 3=90^{\circ}-\angle 2$，把$\angle 2 = 25^{\circ}$代入得$\angle 3=90 - 25=65^{\circ}$。
又因为$\angle BOC = 130^{\circ}$，所以$\angle 4=\angle BOC-\angle 3$，$\angle 4 = 130 - 65=65^{\circ}$。
由于$\angle 3=\angle 4 = 65^{\circ}$，根据角平分线的定义（角平分线是把一个角分成两个相等的角的射线），所以$OE$平分$\angle BOC$。
综上，（1）$\angle BOD$的度数为$155^{\circ}$；（2）$OE$平分$\angle BOC$。

13. 如图,直线$AB$,$CD$,$EF$相交于点O,$∠1 = 25^{\circ}$,$∠COE = 115^{\circ}$.
(1)求$∠BOE$的度数；
(2)求证：$AB⊥CD$.
(1)解：因为$\angle COE+\angle EOD = 180^{\circ}$（邻补角定义），$\angle COE = 115^{\circ}$，所以$\angle EOD=180^{\circ}-\angle COE$。
则$\angle EOD = 180 - 115=65^{\circ}$。
又因为$\angle 1$与$\angle BOF$是对顶角，$\angle 1 = 25^{\circ}$，所以$\angle BOF=\angle 1 = 25^{\circ}$，因为$\angle EOD+\angle BOF+\angle BOE = 180^{\circ}$（平角定义）。
所以$\angle BOE=180^{\circ}-\angle BOF - \angle EOD$。
把$\angle BOF = 25^{\circ}$，$\angle EOD = 65^{\circ}$代入得：$\angle BOE=180 - 25 - 65=90^{\circ}$。
故$∠BOE$的度数为90°。
(2)证明：因为$\angle 1$与$\angle BOF$是对顶角，所以$\angle BOF=\angle 1 = 25^{\circ}$，又因为$\angle COE$与$\angle DOF$是对顶角，所以$\angle DOF=\angle COE = 115^{\circ}$。
根据$\angle BOD=\angle DOF-\angle BOF$，则$\angle BOD=115 - 25=90^{\circ}$。
所以$AB\perp CD$（垂直的定义）。

答案： 1. （1）
解：因为$\angle COE+\angle EOD = 180^{\circ}$（邻补角定义），$\angle COE = 115^{\circ}$，所以$\angle EOD=180^{\circ}-\angle COE$。
则$\angle EOD = 180 - 115=65^{\circ}$。
又因为$\angle 1$与$\angle BOE$是对顶角，$\angle 1 = 25^{\circ}$，$\angle EOD+\angle 1+\angle BOE = 180^{\circ}$（平角定义）。
所以$\angle BOE=180^{\circ}-\angle 1 - \angle EOD$。
把$\angle 1 = 25^{\circ}$，$\angle EOD = 65^{\circ}$代入得：$\angle BOE=180 - 25 - 65=90^{\circ}$。
2. （2）
证明：由（1）知$\angle BOE = 90^{\circ}$，而$\angle BOE=\angle BOC+\angle COE$（角的和差关系），$\angle COE = 115^{\circ}$，$\angle BOE = 90^{\circ}$（计算错误，重新推导：因为$\angle 1$与$\angle BOF$是对顶角，$\angle 1 = 25^{\circ}$，所以$\angle BOF=\angle 1 = 25^{\circ}$，又因为$\angle COE=\angle DOF = 115^{\circ}$（对顶角相等），$\angle BOD=\angle DOF-\angle BOF$）。
因为$\angle 1$与$\angle BOF$是对顶角，所以$\angle BOF=\angle 1 = 25^{\circ}$，又因为$\angle COE$与$\angle DOF$是对顶角，所以$\angle DOF=\angle COE = 115^{\circ}$。
根据$\angle BOD=\angle DOF-\angle BOF$，则$\angle BOD=115 - 25=90^{\circ}$。
所以$AB\perp CD$（垂直的定义：若两直线相交，所成角为$90^{\circ}$，则两直线垂直）。
综上，（1）$\angle BOE = 90^{\circ}$；（2）证明如上。

14. 如图,直线$AD与直线BC相交于点O$,$OE平分∠AOB$,$∠1 = 30^{\circ}$,求$∠EOD$的度数.$105^{\circ}$

答案： $\angle EOD = 105^{\circ}$.