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【典型例题 1】
有八个不同因数的自然数,其中最小的一个数是多少？
分析 因为$8= 1×8= 2×4= (1+1)×(3+1)= 2×2×2= (1+1)×(1+1)×(1+1)= 7+1$,所以所求的自然数只可能有三种情况：$a^{7}$,$a×b^{3}$,$a×b×c$(其中$a$、$b$、$c$是不同的质数),而要使自然数最小,显然$a$,$b$,$c$应尽量取较小的质数即可。
【答案】：
有八个不同因数的自然数,其中最小的一个数是多少？
分析 因为$8= 1×8= 2×4= (1+1)×(3+1)= 2×2×2= (1+1)×(1+1)×(1+1)= 7+1$,所以所求的自然数只可能有三种情况：$a^{7}$,$a×b^{3}$,$a×b×c$(其中$a$、$b$、$c$是不同的质数),而要使自然数最小,显然$a$,$b$,$c$应尽量取较小的质数即可。
【答案】：
24
答案：
【解析】：
1. 首先分析因数个数的计算公式：
对于一个自然数$N = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{n}^{a_{n}}$（$p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}$是不同的质数，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$是正整数），它的因数个数$d(N)=(a_{1} + 1)(a_{2}+1)\cdots(a_{n}+1)$。
已知该自然数有$8$个不同因数，因为$8 = 1×8=(7 + 1)$，此时$N=a^{7}$；$8=2×4=(1 + 1)×(3 + 1)$，此时$N=a× b^{3}$；$8 = 2×2×2=(1 + 1)×(1 + 1)×(1 + 1)$，此时$N=a× b× c$（$a$、$b$、$c$是不同的质数）。
2. 然后分别计算三种情况下自然数的最小值：
**情况一：当$N = a^{7}$时**：
为使$N$最小，取$a = 2$，则$N=2^{7}=128$。
**情况二：当$N=a× b^{3}$时**：
质数从小到大依次为$2$、$3$、$5$等，为使$N$最小，不妨令$a = 3$，$b = 2$，则$N = 3×2^{3}=3×8 = 24$。
**情况三：当$N=a× b× c$时**：
取$a = 2$，$b = 3$，$c = 5$，则$N=2×3×5 = 30$。
3. 最后比较三种情况下$N$的大小：
比较$24$、$30$、$128$的大小，$24\lt30\lt128$。
【答案】：$24$
1. 首先分析因数个数的计算公式：
对于一个自然数$N = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{n}^{a_{n}}$（$p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}$是不同的质数，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$是正整数），它的因数个数$d(N)=(a_{1} + 1)(a_{2}+1)\cdots(a_{n}+1)$。
已知该自然数有$8$个不同因数，因为$8 = 1×8=(7 + 1)$，此时$N=a^{7}$；$8=2×4=(1 + 1)×(3 + 1)$，此时$N=a× b^{3}$；$8 = 2×2×2=(1 + 1)×(1 + 1)×(1 + 1)$，此时$N=a× b× c$（$a$、$b$、$c$是不同的质数）。
2. 然后分别计算三种情况下自然数的最小值：
**情况一：当$N = a^{7}$时**：
为使$N$最小，取$a = 2$，则$N=2^{7}=128$。
**情况二：当$N=a× b^{3}$时**：
质数从小到大依次为$2$、$3$、$5$等，为使$N$最小，不妨令$a = 3$，$b = 2$，则$N = 3×2^{3}=3×8 = 24$。
**情况三：当$N=a× b× c$时**：
取$a = 2$，$b = 3$，$c = 5$，则$N=2×3×5 = 30$。
3. 最后比较三种情况下$N$的大小：
比较$24$、$30$、$128$的大小，$24\lt30\lt128$。
【答案】：$24$
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