《2025年七彩假期暑假作业八年级数学》

7. 如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 40^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A按逆时针方向旋转100^{\circ}$,得到$\triangle ADE$,连结$BD$、$CE相交于点F$.
(1) 求证：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
证明：因为$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$100^{\circ}$，得到$\triangle ADE$，所以$AB = AD$，$AC = AE$，$\angle BAD=\angle CAE = 100^{\circ}$。又因为$AB = AC$，所以$AB = AC=AD = AE$。在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
(2) 求$\angle ACE$的度数；
40°
(3) 求证：四边形$ABFE$是菱形.
证明：因为$\angle BAD=\angle CAE = 100^{\circ}$，$AB = AC = AD = AE$，所以$\angle ABD=\angle ADB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAD)=\frac{1}{2}(180 - 100)^{\circ}=40^{\circ}$，$\angle ACE=\angle AEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAE)=40^{\circ}$。又因为$\angle BAC = 40^{\circ}$，所以$\angle BAC=\angle ABD=\angle ACE=\angle AEC$。所以$AE// BF$，$AB// EF$（内错角相等，两直线平行）。所以四边形$ABFE$是平行四边形。又因为$AB = AE$，根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABFE$是菱形。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$100^{\circ}$，得到$\triangle ADE$，
所以$AB = AD$，$AC = AE$，$\angle BAD=\angle CAE = 100^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，所以$AB = AC=AD = AE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
2. （2）解：
因为$AC = AE$，$\angle CAE = 100^{\circ}$，
根据等腰三角形的性质$\angle ACE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAE)$。
把$\angle CAE = 100^{\circ}$代入$\angle ACE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAE)$，得$\angle ACE=\frac{1}{2}(180 - 100)^{\circ}=40^{\circ}$。
3. （3）证明：
因为$\angle BAD=\angle CAE = 100^{\circ}$，$AB = AC = AD = AE$，
所以$\angle ABD=\angle ADB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAD)=\frac{1}{2}(180 - 100)^{\circ}=40^{\circ}$，$\angle ACE=\angle AEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAE)=40^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 40^{\circ}$，所以$\angle BAC=\angle ABD=\angle ACE=\angle AEC$。
所以$AE// BF$，$AB// EF$（内错角相等，两直线平行）。
所以四边形$ABFE$是平行四边形。
又因为$AB = AE$，
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABFE$是菱形。
综上，（1）已证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；（2）$\angle ACE = 40^{\circ}$；（3）已证四边形$ABFE$是菱形。

8. 如图,矩形$ABCD$中,$O是AC与BD$的交点,过$O点的直线EF与AB$、$CD的延长线分别交于点E$、$F$.
(1) 求证：$\triangle BOE\cong\triangle DOF$；
证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。
所以$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$。
根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。
(2) 当$EF与AC$满足$EF\perp AC$关系时,以$A$、$E$、$C$、$F$为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.
证明：
由（1）知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。
所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
当$EF\perp AC$时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形$AECF$是菱形。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。
所以$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。
2. （2）当$EF\perp AC$时，以$A$、$E$、$C$、$F$为顶点的四边形是菱形。
证明：
由（1）知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。
所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
当$EF\perp AC$时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得平行四边形$AECF$是菱形。
综上，（1）已证$\triangle BOE\cong\triangle DOF$；（2）当$EF\perp AC$时，以$A$、$E$、$C$、$F$为顶点的四边形是菱形。

9. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$BD的垂直平分线MN与AD相交于点M$,与$BD相交于点O$,与$BC相交于点N$,连结$BM$、$DN$.
(1) 求证：四边形$BMDN$是菱形；
证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle MDO=\angle NBO$，$\angle DMO=\angle BNO$。又因为$MN$是$BD$的垂直平分线，所以$OB = OD$。在$\triangle MOD$和$\triangle NOB$中，$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO\\\angle DMO=\angle BNO\\OB = OD\end{cases}$，根据AAS定理可得$\triangle MOD\cong\triangle NOB$。所以$OM = ON$。因为$OB = OD$，$OM = ON$，所以四边形$BMDN$是平行四边形。又因为$MN\perp BD$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以四边形$BMDN$是菱形。
(2) 若$AB= 8$,$AD= 16$,求$MD$的长.
解：设$MD=x$，则$AM = AD - MD=16 - x$。因为四边形$BMDN$是菱形，所以$BM = MD=x$。在矩形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$。已知$AB = 8$，$AD = 16$，代入可得$8^{2}+(16 - x)^{2}=x^{2}$。展开式子：$64+256-32x+x^{2}=x^{2}$。移项：$x^{2}-x^{2}+32x=64 + 256$。合并同类项：$32x=320$。解得$x = $10。所以$MD$的长为10。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle MDO=\angle NBO$，$\angle DMO=\angle BNO$。
又因为$MN$是$BD$的垂直平分线，所以$OB = OD$。
在$\triangle MOD$和$\triangle NOB$中，$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO\\\angle DMO=\angle BNO\\OB = OD\end{cases}$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理可得$\triangle MOD\cong\triangle NOB$。
所以$OM = ON$。
因为$OB = OD$，$OM = ON$，所以四边形$BMDN$是平行四边形。
又因为$MN\perp BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$BMDN$是菱形。
2. （2）解：
设$MD=x$，则$AM = AD - MD=16 - x$。
因为四边形$BMDN$是菱形，所以$BM = MD=x$。
在矩形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$。
已知$AB = 8$，$AD = 16$，代入可得$8^{2}+(16 - x)^{2}=x^{2}$。
展开式子：$64+256-32x+x^{2}=x^{2}$。
移项：$x^{2}-x^{2}+32x=64 + 256$。
合并同类项：$32x=320$。
解得$x = 10$。
所以$MD$的长为$10$。