《2025年七彩假期暑假作业八年级数学》

8. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD相交于点O$,过点$O的直线分别交AD$、$BC于点M$、$N$,若$\triangle CON$的面积为 2,$\triangle DOM$的面积为 4,则$\triangle AOB$的面积为6.

答案： 6

9. 如图所示,在$□ ABCD$中,已知对角线$AC和BD相交于点O$,$\triangle AOB$的周长为 25,$AB = 12$,求对角线$AC与BD$的和.26

答案： 26

10. 如图所示,在$□ ABCD$中,沿$AC折\triangle ADC交BC于点O$,问$\triangle ABO和\triangle CEO$全等吗？请说明理由.
解：在$□ABCD$中，$AB = CD$，$\angle B=\angle D$。
因为$\triangle ADC$沿$AC$折叠得到$\triangle AEC$，所以$CD = CE$，$\angle D=\angle E$。
则$AB = CE$，$\angle B=\angle E$。
又因为$\angle AOB=\angle EOC$（对顶角相等）。
在$\triangle ABO$和$\triangle CEO$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle E\\\angle AOB=\angle EOC\\AB = CE\end{cases}$
根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABO\cong\triangle CEO$。
综上，$\triangle ABO$和$\triangle CEO$全等。

答案： 解：在$□ABCD$中，$AB = CD$，$\angle B=\angle D$。
因为$\triangle ADC$沿$AC$折叠得到$\triangle AEC$，所以$CD = CE$，$\angle D=\angle E$。
则$AB = CE$，$\angle B=\angle E$。
又因为$\angle AOB=\angle EOC$（对顶角相等）。
在$\triangle ABO$和$\triangle CEO$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle E\\\angle AOB=\angle EOC\\AB = CE\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABO\cong\triangle CEO$。
综上，$\triangle ABO$和$\triangle CEO$全等。

11. 已知：如图,在$□ ABCD$中,$E$、$F是对角线BD$上的两点,且$BF = DE$. 求证：$AE = CF$.
证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD = BC$，$AD// BC$，
$\therefore\angle ADE=\angle CBF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，
$\begin{cases}AD = BC\\\angle ADE=\angle CBF\\DE = BF\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CBF$SAS，
$\therefore AE = CF$ 。

答案： 【解析】：
本题可先根据平行四边形的性质得到相关边和角的关系，再通过证明三角形全等，进而证明$AE = CF$。
### 步骤一：利用平行四边形的性质
因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等且平行”，所以$AD = BC$，$AD// BC$。
又因为两直线平行，内错角相等，所以$\angle ADE=\angle CBF$。
### 步骤二：证明$\triangle ADE\cong\triangle CBF$
已知$BF = DE$，结合步骤一中得到的$AD = BC$，$\angle ADE=\angle CBF$。
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形），可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
### 步骤三：根据全等三角形的性质得出结论
根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”，因为$\triangle ADE\cong\triangle CBF$，所以$AE = CF$。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD = BC$，$AD// BC$，
$\therefore\angle ADE=\angle CBF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，
$\begin{cases}AD = BC\\\angle ADE=\angle CBF\\DE = BF\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CBF(SAS)$，
$\therefore AE = CF$ 。

12. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$\angle B = \angle AFE$,$EA是\angle BEF$的平分线. 求证：
(1)$\triangle ABE\cong\triangle AFE$；
(2)$\angle FAD = \angle CDE$.
(1) 证明：因为$EA$是$\angle BEF$的平分线，所以$\angle AEB=\angle AEF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B = \angle AFE\\\angle AEB=\angle AEF\\AE = AE\end{array}\right.$，根据$AAS$，可得$\triangle ABE\cong\triangle AFE$。
(2) 证明：因为$\triangle ABE\cong\triangle AFE$，所以$AB = AF$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD// BC$，$AB// CD$。
所以$AF = CD$，$\angle ADF=\angle DEC$，$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
因为$\angle B=\angle AFE$，$\angle AFE+\angle AFD = 180^{\circ}$，所以$\angle AFD=\angle C$。
在$\triangle AFD$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADF=\angle DEC\\\angle AFD=\angle C\\AF = CD\end{array}\right.$，根据$AAS$，可得$\triangle AFD\cong\triangle DCE$。
所以$\angle FAD=\angle CDE$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$EA$是$\angle BEF$的平分线，所以$\angle AEB=\angle AEF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B = \angle AFE\\\angle AEB=\angle AEF\\AE = AE\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle AFE$。
(2) 因为$\triangle ABE\cong\triangle AFE$，所以$AB = AF$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD// BC$，$AB// CD$。
所以$AF = CD$，$\angle ADF=\angle DEC$，$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
因为$\angle B=\angle AFE$，$\angle AFE+\angle AFD = 180^{\circ}$，所以$\angle AFD=\angle C$。
在$\triangle AFD$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADF=\angle DEC\\\angle AFD=\angle C\\AF = CD\end{array}\right.$，根据$AAS$，可得$\triangle AFD\cong\triangle DCE$。
所以$\angle FAD=\angle CDE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。