《2025年一飞冲天同步训练九年级数学下册人教版》

12. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压$p$(单位：kPa)是气体体积$V$(单位：$m^{3}$)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为$1\ m^{3}$时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到$0.01\ m^{3}$)

答案： 解：
(1)设p = $\frac{k}{V}$，由题意知120 = $\frac{k}{0.8}$，所以k = 96，所以函数解析式为p = $\frac{96}{V}$；
(2)当V = 1 m³时，p = $\frac{96}{1}$ = 96(kPa)；
(3)当p = 140 kPa时，V = $\frac{96}{140}$≈0.69(m³)，所以为了安全起见，气体的体积应不小于0.69 m³。

13. 如图，已知$\triangle P_{1}OA_{1}$，$\triangle P_{2}A_{1}A_{2}$，$\triangle P_{3}A_{2}A_{3}$，$\cdots$，$\triangle P_{n}A_{n - 1}A_{n}$都是等腰直角三角形，点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$\cdots$，$P_{n}$都在函数$y = \frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，斜边$OA_{1}$，$A_{1}A_{2}$，$A_{2}A_{3}$，$\cdots$，$A_{n - 1}A_{n}$都在$x$轴上，则点$A_{2022}$的坐标为__________.

答案：
(4$\sqrt{2022}$,0) 过P₁作P₁B₁⊥x轴于B₁，易知B₁(2,0)是OA₁的中点，所以A₁(4,0)。可得P₁的坐标为(2,2)，所以P₁O的解析式为y = x，因为P₁O//A₁P₂，所以设A₁P₂的解析式为y = x + b，将A₁(4,0)代入y = x + b，得4 + b = 0，所以b = -4，所以A₁P₂的解析式是y = x - 4，与y = $\frac{4}{x}$ (x＞0)联立，解得P₂(2 + 2$\sqrt{2}$, -2 + 2$\sqrt{2}$)。同理可得，A₂(4$\sqrt{2}$,0)，P₃(2$\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{3}$, -2$\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{3}$)，A₃(4$\sqrt{3}$,0)。依此类推，点Aₙ的坐标为(4$\sqrt{n}$,0)，故点A₂₀₂₂的坐标为(4$\sqrt{2022}$,0)。

14. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数$y$随时间$x$(单位：分钟)的变化规律如图所示(其中$AB$，$BC$分别为线段，$CD$为双曲线的一部分).

(1)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

答案： 解：
(1)设线段AB所在直线的解析式为y₁ = k₁x + 20，把B(10,40)代入得，k₁ = 2，所以y₁ = 2x + 20，设CD所在双曲线的解析式为y₂ = $\frac{k₂}{x}$，把C(25,40)代入得，k₂ = 1000，所以y₂ = $\frac{1000}{x}$，当x = 5时，y₁ = 2×5 + 20 = 30，当x = 30时，y₂ = $\frac{1000}{30}$ = $\frac{100}{3}$，所以y₁＜y₂，所以第30分钟时，学生的注意力更集中；
(2)令y₁ = 36，所以36 = 2x + 20，所以x = 8，令y₂ = 36，所以36 = $\frac{1000}{x}$，所以x = $\frac{1000}{36}$≈27.8，因为27.8 - 8 = 19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。