《2025年一飞冲天同步训练九年级数学下册人教版》

1. 如图，点$A$是反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上的一点，过点$A$作$AB\perp x$轴，垂足为$B$. 点$C$为$y$轴上的一点，连接$AC$，$BC$. 若$\triangle ABC$的面积为3，则$k$的值是（ ）

A. 3 B. -3 C. 6 D. -6

答案：
D 如图，
连接$OA$。因为$AB\perp x$轴，$OC// AB$，所以$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=3$，而$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\vert k\vert$，所以$\frac{1}{2}\vert k\vert = 3$，解得$k = \pm6$，因为$k\lt0$，所以$k = - 6$。

2. 如图，点$A$是反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图象上的一点，过点$A$作平行四边形$ABCD$，使点$B$，$C$在$x$轴上，点$D$在$y$轴上. 已知平行四边形$ABCD$的面积为6，则$k$的值为（ ）

A. 6 B. -6 C. 3 D. -3

答案：
B 如图，
过点$A$作$AE\perp BC$于$E$。因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$AD// x$轴，所以四边形$ADOE$为矩形，所以$S_{平行四边形ABCD}=S_{矩形ADOE}$，而$S_{矩形ADOE}=\vert k\vert$，所以$\vert k\vert = 6$，即$k = \pm6$，因为$k\lt0$，所以$k = - 6$。

3. 如图，$Rt\triangle AOC$的直角边$OC$在$x$轴上，$\angle ACO = 90^{\circ}$，反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过另一条直角边$AC$的中点$D$，$S_{\triangle AOC} = 3$，则$k =$（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 3

答案： D 因为$D$是$AC$的中点，$S_{\triangle AOC}=3$，所以$S_{\triangle CDO}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOC}=\frac{3}{2}$，因为$S_{\triangle CDO}=\frac{\vert k\vert}{2}$，所以$\frac{\vert k\vert}{2}=\frac{3}{2}$，解得$k = \pm3$，因为$k\gt0$，所以$k = 3$。

4. 如图，直线$l$和双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$交于$A$，$B$两点，$P$是线段$AB$上的点（不与$A$，$B$重合），过点$A$，$B$，$P$分别向$x$轴作垂线，垂足分别是$C$，$D$，$E$，连接$OA$，$OB$，$OP$，设$\triangle AOC$的面积是$S_1$，$\triangle BOD$的面积是$S_2$，$\triangle POE$的面积是$S_3$，则（ ）

A. $S_1 ＜ S_2 ＜ S_3$ B. $S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
C. $S_1 = S_2 ＞ S_3$ D. $S_1 = S_2 ＜ S_3$

答案： D 因为点$A$，$B$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$S_1 = S_2=\frac{1}{2}k$，因为点$P$在双曲线$y=\frac{k}{x}$的上方，所以$S_3\gt\frac{1}{2}k$，所以$S_1 = S_2\lt S_3$。

5. 如图，在反比例函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象上，有点$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，它们的横坐标依次为1，2，3，4. 分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1 + S_2 + S_3 =$（ ）

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 无法确定

答案： B 由题意可知，点$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$坐标分别为$(1,2)$，$(2,1)$，$(3,\frac{2}{3})$，$(4,\frac{1}{2})$。所以由反比例函数的几何意义可知：$S_1 + S_2+S_3 = 1\times(2-\frac{1}{2}) = 1.5$。

6. 如图，点$P$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图象上，$PA\perp x$轴于点$A$，$\triangle PAO$的面积为5，则$k$的值为_________.

答案： -10 因为$S_{\triangle PAO}=5$，所以$\frac{1}{2}\vert k\vert = 5$，解得$k = \pm10$，因为图象位于第二象限，所以$k\lt0$，所以$k = - 10$。

7. 如图，在反比例函数$y = -\frac{6}{x}(x ＜ 0)$的图象上任取一点$P$，过$P$点分别作$x$轴，$y$轴的垂线，垂足分别为$M$，$N$，那么四边形$PMON$的面积为_________.

答案： 6 因为$PM\perp x$轴，$PN\perp y$轴，所以四边形$PMON$为矩形，所以$S_{矩形PMON}=\vert k\vert = 6$。

8. 如图，已知双曲线$y = \frac{k}{x}$经过$Rt\triangle OAB$斜边$OB$的中点$D$，与直角边$AB$相交于点$C$，过点$D$作$DE\perp x$轴于$E$. 若$\triangle OBC$的面积为3，则$k$等于_________.

答案： 2 因为点$C$，$D$均在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，且$k\gt0$，所以$S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}k$。因为$D$是$OB$中点，$DE\perp x$轴，所以$DE$是$\triangle OAB$的中位线，所以$S_{\triangle OAB}=4S_{\triangle ODE}=2k$，所以$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OAC}=2k-\frac{1}{2}k = 3$，解得$k = 2$。

9. 如图，已知双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＜ 0)$经过直角三角形$OAB$斜边$OA$的中点$D$，且与直角边$AB$相交于点$C$. 若点$A$的坐标为$(-6,4)$，则$\triangle AOC$的面积为_________.

答案： 9 因为点$D$为$OA$的中点，且点$A$的坐标为$(-6,4)$，所以点$D$的坐标为$(-3,2)$，把$(-3,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k\lt0)$，得$k = - 6$，所以$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\vert k\vert = 3$，因为$A(-6,-4)$，所以$OB = 6$，$AB = 4$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times OB\times AB = 12$，所以$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle OBC}=12 - 3 = 9$。