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10. 如图，两个反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$和$y = \frac{k_2}{x}$（其中$k_1 ＞ k_2 ＞ 0$）在第一象限内的图象依次是$C_1$和$C_2$，设点$P$在$C_1$上，$PC\perp x$轴于点$C$，交$C_2$于点$A$，$PD\perp y$轴于点$D$，交$C_2$于点$B$，则四边形$PAOB$的面积为_________.
答案：
$k_1 - k_2$ 因为$S_{矩形OCPD}=k_1$，$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle DOB}=\frac{1}{2}k_2$，所以$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{\triangle AOC}-S_{\triangle DOB}=k_1 - k_2$。
11. 如图，$A$，$B$是函数$y = \frac{2}{x}$的图象上关于原点对称的任意两点，$BC// x$轴，$AC// y$轴，$\triangle ABC$的面积记为$S$，则$S =$_________.
答案：
4 如图，
连接$OC$。设$AC$与$x$轴交于点$D$，$BC$与$y$轴交于点$E$。因为$A$，$B$两点关于原点对称，$BC// x$轴，$AC// y$轴，所以$AD = OE = CD$，$BE = OD = CE$，所以$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COE}$，因为$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}\vert k\vert=\frac{1}{2}\times2 = 1$，所以$S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle AOD}=4$。
4 如图，
连接$OC$。设$AC$与$x$轴交于点$D$，$BC$与$y$轴交于点$E$。因为$A$，$B$两点关于原点对称，$BC// x$轴，$AC// y$轴，所以$AD = OE = CD$，$BE = OD = CE$，所以$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COE}$，因为$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}\vert k\vert=\frac{1}{2}\times2 = 1$，所以$S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle AOD}=4$。
12. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$是函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$图象上的点，过点$A$作$y$轴的垂线交$y$轴于点$B$，点$C$在$x$轴上，若$\triangle ABC$的面积为1，则$k$的值为_________.
答案：
-2 如图，
连接$OA$。因为$AB\perp y$轴，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\vert k\vert = 1$，解得$k = \pm2$，因为$k\lt0$，所以$k = - 2$。
-2 如图，
连接$OA$。因为$AB\perp y$轴，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\vert k\vert = 1$，解得$k = \pm2$，因为$k\lt0$，所以$k = - 2$。
1. 如图，反比例函数的图象与过点$A(0,-1)$，$B(4,1)$的直线交于点$B$和点$C(-2,m)$.
(1)求反比例函数和直线$AB$的解析式；
(2)求$\triangle BOC$的面积.
(1)求反比例函数和直线$AB$的解析式；
(2)求$\triangle BOC$的面积.
答案：
解：
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$，直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，把点$B(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 4$，所以反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。把点$A(0,-1)$，$B(4,1)$代入$y = ax + b$，得$\begin{cases}b = - 1\\4a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b = - 1\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$；
(2)把点$C(-2,m)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m = - 2$，所以$C(-2,-2)$，所以$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times1\times4+\frac{1}{2}\times1\times2 = 3$。
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$，直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，把点$B(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 4$，所以反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。把点$A(0,-1)$，$B(4,1)$代入$y = ax + b$，得$\begin{cases}b = - 1\\4a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b = - 1\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$；
(2)把点$C(-2,m)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m = - 2$，所以$C(-2,-2)$，所以$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times1\times4+\frac{1}{2}\times1\times2 = 3$。
2. 如图，直线$y_1 = x + b$交$x$轴于点$B$，交$y$轴于点$A(0,2)$，与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象交于点$C(1,m)$，$D(n,-1)$，连接$OC$，$OD$.
(1)求$k$的值；
(2)求$\triangle COD$的面积；
(3)根据图象直接写出当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围.
(1)求$k$的值；
(2)求$\triangle COD$的面积；
(3)根据图象直接写出当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围.
答案：
解：
(1)把点$A(0,2)$代入$y_1 = x + b$，得$b = 2$，所以一次函数的解析式为$y_1 = x + 2$。把点$C(1,m)$，$D(n,-1)$代入$y_1 = x + 2$，得$m = 3$，$n = - 3$，所以$C(1,3)$，$D(-3,-1)$，把$C(1,3)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k = 3$；
(2)由$y_1 = x + 2$，可知$B(-2,0)$，所以$S_{\triangle COD}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}\times2\times3+\frac{1}{2}\times2\times1 = 4$；
(3)由图象可知，当$y_1\lt y_2$时，$x$的取值范围是$x\lt - 3$，或$0\lt x\lt1$。
(1)把点$A(0,2)$代入$y_1 = x + b$，得$b = 2$，所以一次函数的解析式为$y_1 = x + 2$。把点$C(1,m)$，$D(n,-1)$代入$y_1 = x + 2$，得$m = 3$，$n = - 3$，所以$C(1,3)$，$D(-3,-1)$，把$C(1,3)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k = 3$；
(2)由$y_1 = x + 2$，可知$B(-2,0)$，所以$S_{\triangle COD}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}\times2\times3+\frac{1}{2}\times2\times1 = 4$；
(3)由图象可知，当$y_1\lt y_2$时，$x$的取值范围是$x\lt - 3$，或$0\lt x\lt1$。
3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于$A(-3,1)$，$B(m,3)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，求$x$的取值范围；
(3)连接$AO$，$BO$，求$\triangle ABO$的面积.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，求$x$的取值范围；
(3)连接$AO$，$BO$，求$\triangle ABO$的面积.
答案：
解：
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{a}{x}(a\neq0)$，一次函数的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，把$A(-3,1)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$a = - 3$，所以反比例函数的解析式为$y = -\frac{3}{x}$。把$B(m,3)$代入$y = -\frac{3}{x}$，得$3 = -\frac{3}{m}$，解得$m = - 1$，所以$B(-1,3)$，把$A(-3,1)$，$B(-1,3)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-3k + b = 1\\-k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 4\end{cases}$，所以一次函数的解析式为$y = x + 4$；
(2)因为函数$y = -\frac{3}{x}$和$y = x + 4$图象的交点为$A(-3,1)$，$B(-1,3)$，所以当一次函数的值大于反比例函数的值时，$x$的取值范围是$-3\lt x\lt - 1$，或$x\gt0$；
(3)如图，设一次函数$y = x + 4$和$x$轴的交点为$N$，和$y$轴的交点为$M$。当$x = 0$时，$y = 4$，当$y = 0$时，$x = - 4$，即$OM = 4$，$ON = 4$，所以$S_{\triangle ABO}=S_{\triangle MON}-S_{\triangle BOM}-S_{\triangle AON}=\frac{1}{2}\times4\times4-\frac{1}{2}\times4\times1-\frac{1}{2}\times4\times1 = 4$。
解：
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{a}{x}(a\neq0)$，一次函数的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，把$A(-3,1)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$a = - 3$，所以反比例函数的解析式为$y = -\frac{3}{x}$。把$B(m,3)$代入$y = -\frac{3}{x}$，得$3 = -\frac{3}{m}$，解得$m = - 1$，所以$B(-1,3)$，把$A(-3,1)$，$B(-1,3)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-3k + b = 1\\-k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 4\end{cases}$，所以一次函数的解析式为$y = x + 4$；
(2)因为函数$y = -\frac{3}{x}$和$y = x + 4$图象的交点为$A(-3,1)$，$B(-1,3)$，所以当一次函数的值大于反比例函数的值时，$x$的取值范围是$-3\lt x\lt - 1$，或$x\gt0$；
(3)如图，设一次函数$y = x + 4$和$x$轴的交点为$N$，和$y$轴的交点为$M$。当$x = 0$时，$y = 4$，当$y = 0$时，$x = - 4$，即$OM = 4$，$ON = 4$，所以$S_{\triangle ABO}=S_{\triangle MON}-S_{\triangle BOM}-S_{\triangle AON}=\frac{1}{2}\times4\times4-\frac{1}{2}\times4\times1-\frac{1}{2}\times4\times1 = 4$。
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