《2025年一飞冲天同步训练九年级数学下册人教版》

17. 在平面直角坐标系中，四边形$AOBC$的顶点$O$是坐标原点，点$B$在$x$轴的负半轴上，且$CB\perp x$轴，点$A$的坐标为$(0,6)$，在$OB$边上有一点$P$，满足$AP = 3\sqrt{5}$.
(1)求点$P$的坐标；
(2)如果$\triangle AOP$与以$A$，$P$，$C$为顶点的三角形相似，且$\angle PAC = 90^{\circ}$，求点$C$的坐标.

答案：
解：（1）因为点A的坐标为(0,6)，所以OA = 6，因为∠AOP = 90°，AP = $3\sqrt{5}$，所以$OP=\sqrt{AP^2 - OA^2}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2}=3$，所以点P的坐标为(-3,0)；（2）因为∠AOP = ∠PAC = 90°，△AOP与以A，P，C为顶点的三角形相似，所以$\frac{AC}{OP}=\frac{AP}{OA}$或$\frac{AC}{OA}=\frac{AP}{OP}$，所以$\frac{AC}{3}=\frac{3\sqrt{5}}{6}$或$\frac{AC}{6}=\frac{3\sqrt{5}}{3}$，所以$AC=\frac{3\sqrt{5}}{2}$或$AC = 6\sqrt{5}$。如图，过点C作CD⊥y轴于点D，因为∠CDA = ∠PAC = ∠AOP = 90°，所以∠DCA + ∠CAD = ∠CAD + ∠OAP = 90°，所以∠DCA = ∠OAP，所以△ADC∽△POA，所以$\frac{DC}{OA}=\frac{DA}{OP}=\frac{AC}{PA}$。当$AC=\frac{3\sqrt{5}}{2}$时，$\frac{DC}{6}=\frac{DA}{3}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，解得DC = 3，DA = $\frac{3}{2}$，所以$OD=\frac{15}{2}$，所以点C的坐标为$(-3,\frac{15}{2})$。同理，当$AC = 6\sqrt{5}$时，$\frac{DC}{6}=\frac{DA}{3}=\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2$，所以DC = 12，DA = 6，所以OD = 12，所以点C的坐标为(-12,12)。综上所述，点C的坐标为$(-3,\frac{15}{2})$或(-12,12)。

18. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，当$\angle BCD =$________时，$CD$为$\triangle ABC$的完美分割线；
(2)如图2，在$\triangle ABC$中，$AC = 2$，$BC = \sqrt{2}$，$CD$是$\triangle ABC$的完美分割线，且$CD$为等腰三角形的底边，求完美分割线$CD$的长.

答案： 解：（1）40°；（2）①当△ACD是等腰三角形时，△BCD∽△BAC，所以$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，因为AC = AD = 2，BC = $\sqrt{2}$，设BD = x，则AB = 2 + x，所以$\frac{\sqrt{2}}{x + 2}=\frac{x}{\sqrt{2}}$，解得$x=-1\pm\sqrt{3}$，因为$x＞0$，所以$BD=-1+\sqrt{3}$，因为△BCD∽△BAC，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，所以$CD=\frac{BD\cdot AC}{BC}=\frac{(-1+\sqrt{3})\times2}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$；②当△BCD是等腰三角形时，△ADC∽△ACB，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，因为BC = BD = $\sqrt{2}$，AC = 2，设AD = y，则AB = y + $\sqrt{2}$，所以$\frac{2}{y+\sqrt{2}}=\frac{y}{2}$，解得$y_1=\sqrt{2}$，$y_2=-2\sqrt{2}$（舍），所以AD = $\sqrt{2}$，因为△ADC∽△ACB，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，所以$CD=\frac{AD\cdot BC}{AC}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}=1$。综上所述，CD的长为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$或1。