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8. 如图，在$\square ABCD$中，$AB = 9$，$AD = 8$，$E$为$AD$延长线上一点，且$DE = 4$，连接$BE$交$CD$于点$F$，则$CF =$__________.
答案：
6 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC = AD = 8，AB = CD = 9，AD//BC，
所以∠BCF = ∠EDF，∠BFC = ∠EFD，所以△BCF∽△EDF，所以$\frac{BC}{ED}=\frac{CF}{DF}$，
即$\frac{8}{4}=\frac{CF}{9 - CF}$，解得CF = 6。
9. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是边$AB$的中点，连接$DE$交对角线$AC$于点$F$，若$AB = 8$，$AD = 6$，则$AF$的长为__________.
答案：
$\frac{10}{3}$ 因为四边形ABCD是矩形，所以AB = CD = 8，∠ADC = 90°，AB//CD，
因为AD = 6，所以AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，
因为E是AB的中点，所以AE = $\frac{1}{2}$AB = 4，
因为AB//CD，所以∠CDF = ∠AEF，∠DCF = ∠EAF，所以△CDF∽△AEF，
所以$\frac{CF}{AF}=\frac{CD}{AE}=\frac{8}{4}=2$，所以AF = $\frac{1}{3}$AC = $\frac{10}{3}$。
10. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分图形的面积为__________.
答案：
$\frac{4}{3}$ 如图，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥DC于点N， 由题意得，AB = 1，MN = BC = CD = 2，AB//CD，所以∠BAE = ∠DCE，∠ABE = ∠CDE， 所以△ABE∽△CDE，又$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{EM}{EN}=\frac{1}{2}$，所以EN = $\frac{2}{3}$MN = $\frac{4}{3}$， 所以阴影部分图形的面积为$\frac{1}{2}\times2\times\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。
$\frac{4}{3}$ 如图，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥DC于点N， 由题意得，AB = 1，MN = BC = CD = 2，AB//CD，所以∠BAE = ∠DCE，∠ABE = ∠CDE， 所以△ABE∽△CDE，又$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{EM}{EN}=\frac{1}{2}$，所以EN = $\frac{2}{3}$MN = $\frac{4}{3}$， 所以阴影部分图形的面积为$\frac{1}{2}\times2\times\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。
11. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，$AE$，$BF$交于点$P$.
（1）求证：$AP = 4PE$；
（2）若$\angle BPE=\angle BFD$，且$AD = 8$，求四边形$PFCE$的面积.
（1）求证：$AP = 4PE$；
（2）若$\angle BPE=\angle BFD$，且$AD = 8$，求四边形$PFCE$的面积.
答案：
解：
(1)证明：如图，取BF的中点G，连接EG， 因为E是BC的中点，所以EG是△BCF的中位线，所以EG//CD，CF = 2EG， 因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AB = CD，所以EG//AB， 因为F是CD的中点，所以CD = 2CF，所以AB = CD = 2CF = 4EG， 因为EG//AB，所以∠BAP = ∠GEP，∠ABP = ∠EGP，所以△ABP∽△EGP， 所以$\frac{AP}{EP}=\frac{AB}{EG}=4$，所以AP = 4PE；
(2)因为AD = 8，所以BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AD = 4。 因为∠BPE = ∠BFD，∠BFD + ∠2 = 180°，∠BPE + ∠1 = 180°，所以∠1 = ∠2， 因为AB//CD，所以∠3 = ∠2，所以∠1 = ∠3，所以AB = AP = 4PE， 设PE = a，则AB = AP = 4a，AE = AP + PE = 5a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，即$(4a)^{2}+4^{2}=(5a)^{2}$，解得a = $\frac{4}{3}$， 所以AB = $\frac{16}{3}$，CF = $\frac{8}{3}$， 所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}\times\frac{16}{3}\times4=\frac{32}{3}$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}BC\cdot CF=\frac{1}{2}\times8\times\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$。 所以$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCF}$，所以$S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BPE}=S_{\triangle BCF}-S_{\triangle BPE}$，所以$S_{\triangle ABP}=S_{四边形PFCE}$， 因为AP = 4PE，所以$S_{\triangle ABP}=\frac{4}{5}S_{\triangle ABE}=\frac{128}{15}$，所以四边形PFCE的面积为$\frac{128}{15}$。
解：
(1)证明：如图，取BF的中点G，连接EG， 因为E是BC的中点，所以EG是△BCF的中位线，所以EG//CD，CF = 2EG， 因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AB = CD，所以EG//AB， 因为F是CD的中点，所以CD = 2CF，所以AB = CD = 2CF = 4EG， 因为EG//AB，所以∠BAP = ∠GEP，∠ABP = ∠EGP，所以△ABP∽△EGP， 所以$\frac{AP}{EP}=\frac{AB}{EG}=4$，所以AP = 4PE；
(2)因为AD = 8，所以BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AD = 4。 因为∠BPE = ∠BFD，∠BFD + ∠2 = 180°，∠BPE + ∠1 = 180°，所以∠1 = ∠2， 因为AB//CD，所以∠3 = ∠2，所以∠1 = ∠3，所以AB = AP = 4PE， 设PE = a，则AB = AP = 4a，AE = AP + PE = 5a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，即$(4a)^{2}+4^{2}=(5a)^{2}$，解得a = $\frac{4}{3}$， 所以AB = $\frac{16}{3}$，CF = $\frac{8}{3}$， 所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}\times\frac{16}{3}\times4=\frac{32}{3}$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}BC\cdot CF=\frac{1}{2}\times8\times\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$。 所以$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCF}$，所以$S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BPE}=S_{\triangle BCF}-S_{\triangle BPE}$，所以$S_{\triangle ABP}=S_{四边形PFCE}$， 因为AP = 4PE，所以$S_{\triangle ABP}=\frac{4}{5}S_{\triangle ABE}=\frac{128}{15}$，所以四边形PFCE的面积为$\frac{128}{15}$。
1. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，若$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，且$\triangle ADE$的面积为9，则四边形$BCED$的面积为 （ ）
A. $18$ B. $27$ C. $72$ D. $81$
A. $18$ B. $27$ C. $72$ D. $81$
答案：
1. C 因为\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}\)，\(\angle A = \angle A\)，所以\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)，所以\(\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\)，因为\(\triangle ADE\)的面积为9，所以\(\triangle ABC\)的面积为81，所以四边形BCED的面积为81 - 9 = 72。
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$CH\perp AB$，$CH = h$，$AB = c$，若内接正方形$DEFG$的边长是$x$，则$h$，$c$，$x$的数量关系为 （ ）
A. $x^{2}+h^{2}=c^{2}$ B. $\frac{1}{2}x + h = c$ C. $h^{2}=xc$ D. $\frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$
A. $x^{2}+h^{2}=c^{2}$ B. $\frac{1}{2}x + h = c$ C. $h^{2}=xc$ D. $\frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$
答案：
2. D 如图，
设CH与GF交于点M，因为四边形DEFG是正方形，\(CH\perp AB\)，所以\(GF\parallel DE\)，\(GF = EF = MH = x\)，所以\(\triangle CGF\sim\triangle CAB\)，所以\(\frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}\)，即\(\frac{x}{c}=\frac{h - x}{h}\)，所以\(\frac{x}{c}=1-\frac{x}{h}\)，所以\(\frac{1}{c}=\frac{1}{x}-\frac{1}{h}\)，所以\(\frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}\)。
2. D 如图，
设CH与GF交于点M，因为四边形DEFG是正方形，\(CH\perp AB\)，所以\(GF\parallel DE\)，\(GF = EF = MH = x\)，所以\(\triangle CGF\sim\triangle CAB\)，所以\(\frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}\)，即\(\frac{x}{c}=\frac{h - x}{h}\)，所以\(\frac{x}{c}=1-\frac{x}{h}\)，所以\(\frac{1}{c}=\frac{1}{x}-\frac{1}{h}\)，所以\(\frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}\)。
3. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，点$A$，$B$都在小正方形的顶点上，线段$AB$与网格线$MN$交于点$C$，则$AC$的长为 （ ）
A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{6}{5}$
A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{6}{5}$
答案：
3. C 如图，
由题意得\(AB = \sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5\)，因为\(CN\parallel BD\)，所以\(\triangle ANC\sim\triangle ADB\)，所以\(\frac{AN}{AD}=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{1}{4}=\frac{AC}{5}\)，解得\(AC=\frac{5}{4}\)。
3. C 如图，
由题意得\(AB = \sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5\)，因为\(CN\parallel BD\)，所以\(\triangle ANC\sim\triangle ADB\)，所以\(\frac{AN}{AD}=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{1}{4}=\frac{AC}{5}\)，解得\(AC=\frac{5}{4}\)。
4. 如图，点$P$是$\triangle ABC$的重心，过点$P$作$PD// BC$，交$AC$于点$D$，连接$PC$，若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle PDC$的面积为 （ ）
A. $\frac{1}{8}$ B. $\frac{1}{9}$ C. $\frac{2}{15}$ D. $\frac{4}{27}$
A. $\frac{1}{8}$ B. $\frac{1}{9}$ C. $\frac{2}{15}$ D. $\frac{4}{27}$
答案：
4. B 如图，
连接AP并延长交BC于点E。因为点P是\(\triangle ABC\)的重心，所以\(BE = EC=\frac{1}{2}BC\)，\(\frac{AP}{PE}=2\)，所以\(S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\)，因为\(PD\parallel BC\)，所以\(\frac{AP}{PE}=\frac{AD}{DC}=2\)，\(\frac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle PDC}} = 2\)，因为\(PD\parallel BC\)，所以\(\triangle APD\sim\triangle AEC\)，所以\(\frac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle AEC}} = (\frac{AP}{AE})^2 = (\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)，所以\(S_{\triangle APD}=\frac{4}{9}S_{\triangle AEC}=\frac{2}{9}\)，所以\(S_{\triangle PDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle APD}=\frac{1}{9}\)。
4. B 如图，
连接AP并延长交BC于点E。因为点P是\(\triangle ABC\)的重心，所以\(BE = EC=\frac{1}{2}BC\)，\(\frac{AP}{PE}=2\)，所以\(S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\)，因为\(PD\parallel BC\)，所以\(\frac{AP}{PE}=\frac{AD}{DC}=2\)，\(\frac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle PDC}} = 2\)，因为\(PD\parallel BC\)，所以\(\triangle APD\sim\triangle AEC\)，所以\(\frac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle AEC}} = (\frac{AP}{AE})^2 = (\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)，所以\(S_{\triangle APD}=\frac{4}{9}S_{\triangle AEC}=\frac{2}{9}\)，所以\(S_{\triangle PDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle APD}=\frac{1}{9}\)。
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