《2025年一飞冲天同步训练九年级数学下册人教版》

9. 如图，已知直线$y = \frac{2}{3}x$与双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象交于$A$，$B$两点，$A$点的横坐标为3，则下列结论：①$k = 6$；②$A$点与$B$点关于原点$O$中心对称；③关于$x$的不等式$\frac{2}{3}x - \frac{k}{x} ＜ 0$的解集为$x ＜ -3$，或$0 ＜ x ＜ 3$；④若双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$上有一点$C$，其纵坐标为6，则$\triangle AOC$的面积为8. 其中正确结论的个数有（ ）


A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案：
A
∵直线 $y=\frac{2}{3}x$ 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象交于 $A$，$B$ 两点，$A$ 点的横坐标为 $3$，
∴点 $A$ 的纵坐标为 $y=\frac{2}{3}\times3 = 2$，
∴点 $A(3,2)$，
∴ $k = 3\times2 = 6$，故①正确；
∵直线 $y=\frac{2}{3}x$ 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象都是中心对称图形，
∴ $A$ 点与 $B$ 点关于原点 $O$ 中心对称，故②正确；
∴点 $B(-3,-2)$， 由图可知，关于 $x$ 的不等式 $\frac{2}{3}x-\frac{k}{x}＜0$ 的解集为 $x＜-3$，或 $0＜x＜3$，故③正确； 如图，过点 $C$ 作 $CD\perp x$ 轴于点 $D$，过点 $A$ 作 $AE\perp x$ 轴于点 $E$，
 
∵点 $C$ 的纵坐标为 $6$，
∴把 $y = 6$ 代入 $y=\frac{6}{x}$，得 $x = 1$，
∴点 $C(1,6)$，
∴ $S_{\triangle AOC}=S_{\triangle OCD}+S_{梯形AEDC}-S_{\triangle AOE}=S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}\times(2 + 6)\times(3 - 1)=8$，故④正确。

10. 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象上有一点$P(2,n)$，将点$P$向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点$Q$. 若点$Q$也在该函数的图象上，则$n =$_______.

答案： 3
∵点 $P$ 的坐标为 $(2,n)$，将点 $P$ 向右平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度得到点 $Q$，
∴点 $Q$ 的坐标为 $(3,n - 1)$， 依题意得 $k = 2n = 3(n - 1)$，解得 $n = 3$。

11. 反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$和$y = \frac{k_2}{x}(k_1 ＜ k_2)$在第一象限的图象如图所示，直线$AB // x$轴，并分别交两条曲线于$A$，$B$两点，若$S_{\triangle AOB} = 2$，则$k_2 - k_1$的值为_______.

答案： 4 设点 $A$ 的纵坐标为 $n$，
∵ $AB// x$ 轴，
∴点 $B$ 的纵坐标为 $n$，
∵点 $A$，点 $B$ 分别在 $y=\frac{k_{1}}{x}$，$y=\frac{k_{2}}{x}(k_{1}＜k_{2})$ 的第一象限的图象上，
∴点 $A$，点 $B$ 的横坐标分别为 $\frac{k_{1}}{n}$，$\frac{k_{2}}{n}$，
∵ $S_{\triangle AOB}=2$，
∴ $\frac{1}{2}(\frac{k_{2}}{n}-\frac{k_{1}}{n})n = 2$。
∴ $k_{2}-k_{1}=4$。

12. 如图，$\triangle ABC$在第一象限内，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC // x$轴，点$C(2,2)$，$AB$所在直线的函数解析式是$y = - \frac{2}{3}x + 6$. 当反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象与$\triangle ABC$有交点时，$k$的取值范围是_______.

答案： $4\leqslant k\leqslant\frac{27}{2}$
∵ $\triangle ABC$ 在第一象限内，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC// x$ 轴，点 $C(2,2)$，
∴把 $x = 2$ 代入 $y=-\frac{2}{3}x + 6$，得 $y=-\frac{2}{3}\times2 + 6=\frac{14}{3}$， 把 $y = 2$ 代入 $y=-\frac{2}{3}x + 6$，得 $-\frac{2}{3}x + 6 = 2$， 解得 $x = 6$，
∴ $A(2,\frac{14}{3})$，$B(6,2)$， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数的图象与点 $C$ 相交时，$k$ 值最小，此时 $k = 2\times2 = 4$。 当反比例函数的图象与线段 $AB$ 有交点时， 则 $\frac{k}{x}=-\frac{2}{3}x + 6$， 即 $k=x(-\frac{2}{3}x + 6)=-\frac{2}{3}x^{2}+6x=-\frac{2}{3}(x-\frac{9}{2})^{2}+\frac{27}{2}$，
∵ $2\leqslant x\leqslant6$，
∴当 $x=\frac{9}{2}$ 时，$k$ 值最大， 此时交点坐标为 $(\frac{9}{2},3)$，则 $k=\frac{9}{2}\times3=\frac{27}{2}$， 因此，$k$ 的取值范围是 $4\leqslant k\leqslant\frac{27}{2}$。

13. 已知一次函数$y = kx + b$和反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于$A(-4,2)$，$B(n,-4)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle AOB$的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式$kx + b - \frac{m}{x} ＜ 0$的解集.

答案： 解：
(1)
∵点 $A(-4,2)$ 在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象上，
∴ $2=\frac{m}{-4}$，解得 $m=-8$，
∴反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}$。
∵点 $B(n,-4)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上，
∴ $-4=-\frac{8}{n}$，解得 $n = 2$。
∴ $B(2,-4)$，
∵点 $A(-4,2)$ 和点 $B(2,-4)$ 在一次函数 $y = kx + b$ 的图象上，
∴ $\begin{cases}-4k + b = 2\\2k + b=-4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-1\\b=-2\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为 $y=-x - 2$；
(2)将 $y = 0$ 代入 $y=-x - 2$，得 $x=-2$， 即直线 $y=-x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $C(-2,0)$，
∴ $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times2\times2+\frac{1}{2}\times2\times4 = 6$， 即 $\triangle AOB$ 的面积是 $6$；
(3)由图可得，不等式 $kx + b-\frac{m}{x}＜0$ 的解集为 $x＞2$，或 $-4＜x＜0$。

14. 如图，点$A(1,\frac{1}{2}m^2)$，点$B(2,m - 1)$是函数$y = \frac{k}{x}$(其中$x ＞ 0$)图象上的两点.
(1)求点$A$，点$B$的坐标及函数的解析式；
(2)连接$OA$，$OB$，$AB$，求$\triangle AOB$的面积.

答案：
解：
(1)
∵点 $A(1,\frac{1}{2}m^{2})$，点 $B(2,m - 1)$ 是函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上的两点，
∴ $k=\frac{1}{2}m^{2}=2(m - 1)$， 解得 $m = 2$，$k = 2$，
∴ $A(1,2)$，$B(2,1)$， 函数的解析式为 $y=\frac{2}{x}$；
 
(2)过点 $A$ 作 $AM\perp x$ 轴于 $M$，过点 $B$ 作 $BN\perp x$ 轴于 $N$， $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOM}+S_{梯形AMNB}-S_{\triangle BON}=S_{梯形AMNB}=\frac{1}{2}\times(2 + 1)\times(2 - 1)=\frac{3}{2}$。