《2025年一飞冲天同步训练九年级数学下册人教版》

21. 已知函数$y = (m^2 + 2m)x^{m^2 - m - 1}$.
(1)如果$y$是$x$的正比例函数，求$m$的值；
(2)如果$y$是$x$的反比例函数，求$m$的值，并写出此时$y$与$x$的函数关系式.

答案： 解：（1）由y = (m² + 2m)x^(m² - m - 1)是正比例函数，得m² - m - 1 = 1，且m² + 2m ≠ 0，解得m = 2，或m = -1； （2）由y = (m² + 2m)x^(m² - m - 1)是反比例函数，得m² - m - 1 = -1，且m² + 2m ≠ 0，解得m = 1。此时y与x的函数关系式为y = $\frac{3}{x}$。

22. 已知函数$y = (5m - 3)x^{2 - n} + (n + m)$.
(1)当$m$，$n$为何值时，是一次函数？
(2)当$m$，$n$为何值时，是正比例函数？
(3)当$m$，$n$为何值时，是反比例函数？

答案： 解：（1）当函数y = (5m - 3)x^(2 - n) + (n + m)是一次函数时，2 - n = 1，且5m - 3 ≠ 0，解得n = 1，且m ≠ $\frac{3}{5}$； （2）当函数y = (5m - 3)x^(2 - n) + (n + m)是正比例函数时，$\begin{cases}2 - n = 1 \\ n + m = 0 \\ 5m - 3 ≠ 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1 \\ n = 1 \end{cases}$； （3）当函数y = (5m - 3)x^(2 - n) + (n + m)是反比例函数时，$\begin{cases}2 - n = -1 \\ n + m = 0 \\ 5m - 3 ≠ 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -3 \\ n = 3 \end{cases}$。

23. 已知$y = y_1 + y_2$，$y_1$与$(x - 1)$成正比例，$y_2$与$(x + 1)$成反比例，当$x = 0$时，$y = - 3$；当$x = 1$时，$y = - 1$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x = -\frac{1}{2}$时，求$y$的值.

答案： 解：（1）因为y₁与(x - 1)成正比例，y₂与(x + 1)成反比例，所以设y₁ = k₁(x - 1)，y₂ = $\frac{k₂}{x + 1}$，所以y = y₁ + y₂ = k₁(x - 1) + $\frac{k₂}{x + 1}$，因为当x = 0时，y = -3，当x = 1时，y = -1，所以$\begin{cases}-3 = -k₁ + k₂ \\ -1 = \frac{k₂}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = 1 \\ k₂ = -2 \end{cases}$，所以y = x - 1 - $\frac{2}{x + 1}$； （2）当x = -$\frac{1}{2}$时，y = -$\frac{1}{2}$ - 1 - $\frac{2}{-\frac{1}{2} + 1}$ = -$\frac{11}{2}$。

24. 将$x = \frac{2}{3}$代入反比例函数$y = -\frac{1}{x}$中，所得函数值记为$y_1$，又将$x = y_1 + 1$代入函数中，所得函数值记为$y_2$，再将$x = y_2 + 1$代入函数中，所得函数值记为$y_3$，…，如此继续下去.
(1)完成下表：

(2)观察上表，你发现了什么规律？猜想$y_{2022}=$__________.

答案： 解：（1）x = $\frac{2}{3}$，y₁ = -$\frac{1}{\frac{2}{3}}$ = -$\frac{3}{2}$；x = -$\frac{3}{2}$ + 1 = -$\frac{1}{2}$，y₂ = -$\frac{1}{-\frac{1}{2}}$ = 2；x = 2 + 1 = 3，y₃ = -$\frac{1}{3}$；x = -$\frac{1}{3}$ + 1 = $\frac{2}{3}$，y₄ = -$\frac{1}{\frac{2}{3}}$ = -$\frac{3}{2}$；x = -$\frac{3}{2}$ + 1 = -$\frac{1}{2}$，y₅ = -$\frac{1}{-\frac{1}{2}}$ = 2，填表如下： | y₁ | y₂ | y₃ | y₄ | y₅ | | -$\frac{3}{2}$ | 2 | -$\frac{1}{3}$ | -$\frac{3}{2}$ | 2 | （2）-$\frac{1}{3}$ 由（1）计算结果可知，函数值依次为 -$\frac{3}{2}$，2，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{3}{2}$，2，…，三个数循环一次，所以y₂₀₂₂ = y₆₇₄×₃ = y₃ = -$\frac{1}{3}$。