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例1 在算式$\frac{1}{18}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\triangle}+\frac{1}{\bigcirc}=1$中，$\square$、$\triangle$和$\bigcirc$表示三个不同的自然数，这三个自然数的和是多少?
一思路分析
首先根据条件可以知道$\frac{1}{\square}+\frac{1}{\triangle}+\frac{1}{\bigcirc}=\frac{17}{18}$。接下来在18的因数中找出三个不同的因数，使得它们的和是17。
解答：$\frac{1}{\square}+\frac{1}{\triangle}+\frac{1}{\bigcirc}=1 - \frac{1}{18}=\frac{17}{18}$
18的因数：1、2、3、6、9、18。
2 + 6 + 9 = 17
$\frac{17}{18}=\frac{2}{18}+\frac{6}{18}+\frac{9}{18}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
所以$\square$、$\triangle$和$\bigcirc$分别表示9、3和2。
9 + 3 + 2 = 14
答：这三个自然数的和是14。
归纳点拨
解决此类问题首先要找到三个未知数之间的关系。综合运用约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
一思路分析
首先根据条件可以知道$\frac{1}{\square}+\frac{1}{\triangle}+\frac{1}{\bigcirc}=\frac{17}{18}$。接下来在18的因数中找出三个不同的因数，使得它们的和是17。
解答：$\frac{1}{\square}+\frac{1}{\triangle}+\frac{1}{\bigcirc}=1 - \frac{1}{18}=\frac{17}{18}$
18的因数：1、2、3、6、9、18。
2 + 6 + 9 = 17
$\frac{17}{18}=\frac{2}{18}+\frac{6}{18}+\frac{9}{18}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
所以$\square$、$\triangle$和$\bigcirc$分别表示9、3和2。
9 + 3 + 2 = 14
答：这三个自然数的和是14。
归纳点拨
解决此类问题首先要找到三个未知数之间的关系。综合运用约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
答案：
1. 在下面的$\bigcirc$里填4个连续的自然数，使得等式成立。
$\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}=\frac{19}{20}$
$\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}+\frac{1}{\bigcirc}=\frac{19}{20}$
答案：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}$ [提示]先把$\frac{19}{20}$通分成$\frac{57}{60}$，再把57进行分解，$57 = 10 + 12 + 15 + 20$，然后约分成最简分数。
例2 现有$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{12}$共5个分数，选择合适的分数将等式补充完整。（每个等式中每个分数只能用一次）
(1) ( ) + ( ) + ( ) = 1
(2) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 1
一思路分析
将这几个分数都化成分母是12，大小不变的分数，分别是$\frac{6}{12}$、$\frac{4}{12}$、$\frac{3}{12}$、$\frac{2}{12}$和$\frac{1}{12}$，再进行合理组合。$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$。$\frac{6}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$。
解答：(1)$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$
归纳点拨
解决此类问题的关键在于找到这些分数与单位“1”之间的关系，运用通分、约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
(1) ( ) + ( ) + ( ) = 1
(2) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 1
一思路分析
将这几个分数都化成分母是12，大小不变的分数，分别是$\frac{6}{12}$、$\frac{4}{12}$、$\frac{3}{12}$、$\frac{2}{12}$和$\frac{1}{12}$，再进行合理组合。$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$。$\frac{6}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$。
解答：(1)$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$
归纳点拨
解决此类问题的关键在于找到这些分数与单位“1”之间的关系，运用通分、约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
答案：
2. 在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。
$\frac{1}{18}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
$\frac{1}{18}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
答案：
$\frac{1}{18}=\frac{1}{54}+\frac{1}{27}$(答案不唯一) [提示]选18的2个因数1和2，$1 + 2 = 3$，将$\frac{1}{18}$分子与分母同时乘3，得$\frac{1}{18}=\frac{3}{54}=\frac{1}{54}+\frac{2}{54}=\frac{1}{54}+\frac{1}{27}$。
3. 两个分数$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$（$a$、$b$为互不相同的质数，且$a ＜ b$），通分后两个分数分子的和是9，这两个分数分别是多少?
答案：
这两个分数分别是$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{7}$。 [提示]因为分母是互不相同的质数，所以$a$,$b$的最小公倍数是$a×b$，通分为$\frac{b}{ab}$和$\frac{a}{ab}$，通分后的分子之和是9，所以$a + b = 9$，只有$2 + 7 = 9$满足题意，所以这两个分数分别是$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{7}$。
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